Разложение на множители: наибольший общий множитель (Greatest Common Factor)

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

Теперь мы переходим к теме разложения на множители (factoring). В предыдущих уроках мы активно использовали распределительный закон, который является, пожалуй, самым фундаментальным арифметическим принципом в алгебре.

Распределение и вынесение множителя — одно и то же

Распределительный закон гласит, что умножение распределяется по сложению:

P × (A + B) = PA + PB

Когда мы идём слева направо, мы говорим, что распределяем множитель P.
Но так как это равенство, мы можем идти и в обратную сторону:

PA + PB = P × (A + B)

Когда мы переходим справа налево, мы говорим, что выносим общий множитель или факторизуем.

Очень важно понимать:

Распределение и вынесение множителя — это две стороны одного и того же процесса.
Разница только в направлении.

Что означает факторизация

Факторизация — это переписывание выражения в виде произведения двух или более множителей.

Это не просто техника преобразования выражений. В дальнейшем, при решении алгебраических уравнений, факторизация станет одной из ключевых стратегий решения. Поэтому сейчас мы поэтапно изучаем разные способы разложения на множители.

Факторизация по наибольшему общему множителю (GCF)

Это самая простая и базовая техника факторизации.

Если идея наибольшего общего множителя знакома вам только для обычных чисел, имеет смысл вспомнить её из темы свойств целых чисел. Сейчас мы просто расширяем эту идею на алгебраические выражения.

Пример 1: линейный бином

Рассмотрим выражение:

5x + 45

Наибольший общий множитель коэффициентов — 5.

Выносим 5:

5(x + 9)

Это уже полностью разложенное выражение.

Пример 2: кубический бином

Рассмотрим:

9x в кубе + 12x

Шаги:

• наибольший общий множитель коэффициентов: 3
  
  
• минимальная степень x в обоих членах: x
  
  

Выносим 3x:

3x(3x в квадрате + 4)

Пример 3: высокие степени (концептуальный)

Рассмотрим выражение с высокими степенями переменных.
Хотя такие степени редко встречаются на экзамене (кроме очень сложных задач), принцип остаётся тем же.

Если:

• наибольшая общая степень x — x в пятой степени;
  
  
• наибольшая общая степень y — y в четвёртой степени;
  
  

то мы выносим:

x в пятой степени × y в четвёртой степени

А в скобках остаётся то, что «не вынеслось», например:

x в квадрате + y в квадрате

Факторизация тринома по GCF

Общий множитель можно выносить не только из бинома, но и из тринома.

Пример

Рассмотрим выражение:

2x в четвёртой степени + 2x в кубе + 10x в квадрате

Шаги:

• наибольший общий множитель коэффициентов: 2
  
  
• минимальная степень x: x в квадрате
  
  

Выносим 2x в квадрате:

2x в квадрате (x в квадрате + x + 5)

В результате мы получили произведение:

• монома,
  
  
• квадратичного тринома.
  
  

Практика

Во всех задачах этого типа алгоритм всегда один и тот же:

1. Найти наибольший общий множитель коэффициентов.
   
   
2. Найти наименьшую степень каждой переменной, присутствующей во всех членах.
   
   
3. Вынести этот общий множитель за скобки.
   
   
4. Проверить, что внутри скобок выражение больше нельзя упростить вынесением GCF.
   
   

Итоговые выводы

В этом уроке мы разобрали:

• связь между распределением и факторизацией;
  
  
• определение факторизации как переписывания выражения в виде произведения;
  
  
• самый простой и важный приём факторизации — вынесение наибольшего общего множителя (GCF);
  
  
• применение этой техники к биномиалам и триномиалам.
  
  

Этот навык является обязательной основой для следующих тем:

• факторизация квадратных триномов,
  
  
• решение уравнений,
  
  
• упрощение рациональных выражений.
  
  

Уверенное владение факторизацией по GCF существенно упрощает дальнейшую работу с алгеброй в Quant-разделе GMAT и GRE.

Следующей главой изучим разность квадратов.