Арифметические последовательности

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой к каждому следующему члену прибавляется одно и то же постоянное число.

Например, если мы каждый раз прибавляем 7, то получаем арифметическую последовательность:
5, 12, 19, 26, …

Ключевая идея:

Любой равномерно расположенный список чисел — это арифметическая последовательность.

Частные случаи арифметических последовательностей

К арифметическим последовательностям относятся:

• последовательные кратные числа p (прибавляем p каждый раз);

   

• последовательные нечетные числа;

   

• последовательные четные числа;

   

• последовательные целые числа.

   

Все они имеют постоянную разность между соседними членами.

Зачем нужна формула n-го члена

На GMAT часто задают вопросы вида:

• найти 80-й, 41-й или 76-й член последовательности;

   

• определить конкретный член без выписывания всех предыдущих.

   

Для этого нужна формула n-го члена, аналогично формулам, которые мы использовали для алгебраически заданных последовательностей.

Вывод формулы на примере

Рассмотрим арифметическую последовательность:

• первый член: 5

   

• каждый раз прибавляем 7

   

Разберем первые члены:

• a₁ = 5

   

• a₂ = 5 + 7

   

• a₃ = 5 + 7 + 7

   

• a₄ = 5 + 7 + 7 + 7

   

Замечание:

• число прибавлений 7 всегда на 1 меньше номера члена;

   

• для n-го члена мы прибавляем 7 ровно n − 1 раз.

   

Следовательно:

• aₙ = 5 + 7 · (n − 1)

   

Общая формула арифметической последовательности

В общем виде:

• a₁ — первый член последовательности;

   

• d — разность (common difference), то есть число, которое мы прибавляем каждый раз.

   

Тогда формула n-го члена:

aₙ = a₁ + d · (n − 1)

Важно:

• не просто заучите формулу,

   

• понимайте, откуда она берется — это критично для нестандартных задач.

   

Связь с остатками при делении

Еще один важный контекст:

Множество всех положительных целых чисел, которые при делении на одно и то же число дают одинаковый остаток, образует арифметическую последовательность.

Пример:

• все числа, которые при делении на 7 дают остаток 5:
  5, 12, 19, 26, …

   

Здесь:

• первый член a₁ = 5 (наименьшее положительное число с таким остатком);

   

• разность d = 7 (делитель).

   

Пример 1: прямое применение формулы

Задача:
Найдите 41-й член арифметической последовательности, если:

• первый член равен 14;

   

• каждый раз прибавляется 9.

   

Решение:

• a₁ = 14

   

• d = 9

   

Подставляем в формулу:

• a₄₁ = 14 + 9 · 40

   

• 9 · 40 = 360

   

• 360 + 14 = 374

   

Ответ: 374.

Пример 2: остаток при делении

Задача:
Пусть S — множество всех положительных целых чисел, которые при делении на 8 дают остаток 5.
Найдите 76-е число этого множества.

Решение:

• первый член: 5

   

• разность: 8

   

Формула:

• a₇₆ = 5 + 8 · 75

   

Вычисление:

• 8 · 75 = 600

   

• 600 + 5 = 605

   

Ответ: 605.

Пример 3: неизвестны первый член и разность

Задача:
В арифметической последовательности:

• a₃ = 17

   

• a₁₉ = 65

   

Найдите 10-й член.

Решение:

Обозначим:

• a₁ = b

   

• разность = d

   

Тогда:

• a₃ = b + 2d = 17

   

• a₁₉ = b + 18d = 65

   

Вычитаем первое уравнение из второго:

• 16d = 48

   

• d = 3

   

Подставляем:

• b + 2 · 3 = 17

   

• b = 11

   

Теперь находим 10-й член:

• a₁₀ = 11 + 3 · 9

   

• 3 · 9 = 27

   

• 11 + 27 = 38

   

Ответ: 38.

Итог

• Арифметическая последовательность — это последовательность с постоянной разностью.

   

• Любой равномерно расположенный список чисел является арифметическим.

   

• Последовательные кратные, нечетные, четные числа — все это арифметические последовательности.

   

• Числа с одинаковым остатком при делении на один и тот же делитель образуют арифметическую последовательность.

   

• Формула n-го члена:

   

aₙ = a₁ + d · (n − 1)

Эта формула — один из базовых инструментов GMAT Quant и будет использоваться далее многократно.

Следующей главой будет глава о рекурсивных последовательностях.