Положительные и отрицательные числа

Эта тема является частью раздела Арифметика и дроби в Quant GMAT Focus.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел — это базовый, но критически важный навык для GMAT Quant.
Ошибки здесь почти всегда стоят баллов, потому что такие операции встроены в более сложные задачи: дроби, алгебра, неравенства, data sufficiency.

Этот раздел предназначен:

• для тех, кто чувствует неуверенность в работе со знаками;
  
  
• для систематизации знаний, даже если тема кажется «слишком простой».
  
  

Если вы уверенно складываете и вычитаете двузначные положительные числа в уме, значит база у вас уже есть — и этого достаточно, чтобы освоить всё остальное.

Базовая предпосылка (что вы должны уметь)

Мы предполагаем, что вы уверенно владеете двумя навыками:

Сложение двух положительных чисел

27 + 48

1.  

Вычитание «большее − меньшее»

64 − 23

1.  

👉 Если с этим есть трудности — тренируйтесь ежедневно.
GMAT Quant проходит без калькулятора, и уверенная ментальная арифметика делает тест значительно проще.

Ключевая идея: вычитание — это замаскированное сложение

С точки зрения математики:

Любое вычитание можно переписать как сложение числа с противоположным знаком

Общее правило

a − b = a + (−b)

 

Это фундаментальная идея, которая позволяет упростить почти все операции со знаками.

Четыре возможных случая вычитания

Рассмотрим все варианты:

1. Положительное − положительное

8 − 3

 

Можно оставить как есть — это уже простой случай.

2. Отрицательное − положительное

−5 − 7 = −5 + (−7)

 

➡ сумма двух отрицательных чисел.

3. Положительное − отрицательное

6 − (−4) = 6 + 4

 

👉 Всегда упрощается
Это превращается в сложение двух положительных чисел — самый простой вариант.

4. Отрицательное − отрицательное

−12 − (−8) = −12 + 8

 

Этот случай часто вызывает ошибки, но он отлично упрощается с помощью следующего приёма.

Приём №1: вынесение минуса (factor out −1)

Если в выражении «много минусов»,
👉 вынесите общий минус.

Пример

−46 − 37

 

Вынесем минус:

−(46 + 37)

 

Считаем:

46 + 37 = 83

 

Ответ:

−83

 

📌 Алгоритм:

1. вынесли минус,
   
   
2. внутри получили сумму положительных,
   
   
3. посчитали,
   
   
4. вернули минус перед результатом.
   
   

Приём №2: «маленькое − большое»

Один из самых частых источников ошибок на GMAT.

Пример

23 − 64

 

Так считать неудобно. Что делаем?

1. Выносим минус
   
   
2. Меняем порядок вычитания
   
   

23 − 64 = −(64 − 23)

 

Теперь внутри — «большее − меньшее», что легко считается:

64 − 23 = 41

 

Ответ:

−41

 

Ещё пример

26 − 63 = −(63 − 26) = −37

 

 Этот приём обязан быть доведён до автоматизма.

Универсальная стратегия для сложения и вычитания

Любую операцию с положительными и отрицательными числами можно свести к одному из двух простых действий:

1. Сложение двух положительных чисел
   
   
2. Вычитание: большее − меньшее
   
   

Как этого добиться:

• + (−) → вычитание
  
  
• − (−) → сложение
  
  
• маленькое − большое → вынесли минус и поменяли порядок
  
  

Важно: не только для целых чисел

Все эти правила на 100% работают и для:

• дробей
  
  
• десятичных чисел
  
  

Пример:

0.4 − 1.7 = −(1.7 − 0.4) = −1.3

 

Формулы и правила — готовый блок для вставки

Можно использовать как шпаргалку:

a − b = a + (−b)

 

+ (−x) = вычитание

− (−x) = сложение

 

−a − b = −(a + b)

 

a − b, если a < b:

a − b = −(b − a)

 

Краткое резюме (для учеников)

• любое вычитание можно переписать как сложение
  
  
• «плюс на минус» = вычитание
  
  
• «минус на минус» = сложение
  
  
• если получается «маленькое − большое» — вынеси минус
  
  

цель всегда одна:
прийти к сложению двух положительных или вычитанию большего из меньшего

Предлагаем дальше изучить статью о ментальной арифметике.