Квадраты целых чисел

Эта тема является частью раздела целочисленных свойств в Quant GMAT Focus.

Квадраты целых чисел, также называемые полными квадратами (perfect squares), — важная тема в разделе Integer Properties. Экзамен регулярно проверяет понимание их свойств, особенно в связке с разложением на простые множители и подсчетом делителей.

Первые квадраты целых чисел

Первые 15 квадратов целых чисел образуют базовый набор, который очень желательно знать.

• Первые 10 квадратов необходимо знать идеально — быстро и без размышлений, в прямом и обратном порядке.
  
  
• Узнавание следующих нескольких квадратов экономит время в более сложных задачах.
  
  

Экзамен часто строит вопросы так, что узнавание числа как полного квадрата дает немедленное преимущество.

Связь квадратов и разложения на простые множители

Рассмотрим конкретный пример.

Пример: 12 в квадрате

12 в квадрате = 144

Найдем разложение 144 на простые множители:

• 144 = 12 × 12
  
  
• 12 = 2 × 2 × 3
  
  

Следовательно:

• 144 = 2 в четвертой степени × 3 в квадрате
  
  

Ключевое наблюдение

Каждый простой множитель удваивается, потому что число умножается само на себя:

• множитель 3 встречается один раз в 12 → два раза в 144
  
  
• множитель 2 встречается два раза в 12 → четыре раза в 144
  
  

Все показатели степеней стали четными.

Главное свойство квадратов

Фундаментальный факт

В разложении на простые множители любого полного квадрата все показатели степеней — четные.

Причина проста:

• если простой множитель встречается k раз в числе N,
  
  
• то в N в квадрате он встречается 2k раз.
  
  

Как распознать квадрат по разложению

Если вам дано число в виде разложения на простые множители, и:

• все показатели степеней — четные,
  
  

то это число обязательно является полным квадратом.

Пример

Пусть:

• K = 2 в шестой степени × 3 в четвертой степени × 5 в квадрате
  
  

Мы не знаем само число K, но это и не нужно.

Показатели степеней:

• 6, 4, 2 — все четные
  
  

Следовательно:

• K — полный квадрат
  
  

Как найти квадратный корень по разложению

Если число — полный квадрат, его квадратный корень можно найти пополам уменьшая показатели степеней.

Для K:

• корень из K = 2 в третьей степени × 3 в квадрате × 5
  
  

Посчитаем:

• 2 в третьей степени = 8
  
  
• 3 в квадрате = 9
  
  

Итого:

• 8 × 9 × 5 = 360
  
  

Следовательно:

• K = 360 в квадрате
  
  

Это можно определить исключительно по разложению, не вычисляя само число заранее.

Подсчет делителей полного квадрата

В предыдущей главе мы разобрали алгоритм подсчета количества делителей через разложение на простые множители. Здесь важно применить его к специальному случаю — полным квадратам.

Напоминание ключевого шага

• мы берем показатели степеней
  
  
• прибавляем 1 к каждому
  
  
• перемножаем результаты
  
  

Почему у полного квадрата нечетное число делителей

Пусть число — полный квадрат. Тогда:

• все показатели степеней — четные
  
  
• после прибавления 1 каждый показатель становится нечетным
  
  
• произведение нечетных чисел — нечетное
  
  

Вывод

Любой полный квадрат имеет нечетное количество делителей.

Альтернативное объяснение через пары делителей

Рассмотрим число 36.

Его делители:

• 1 и 36
  
  
• 2 и 18
  
  
• 3 и 12
  
  
• 4 и 9
  
  
• 6 и 6
  
  

Все делители образуют пары, кроме одного случая:

• 6 × 6
  
  

Число 6 (квадратный корень из 36) образует пару само с собой, поэтому учитывается один раз, а не два.

Именно этот «непарный» делитель делает общее количество делителей нечетным.

Ключевое обобщение

• Если число не является полным квадратом, все его делители образуют пары
  
  
• Только у полных квадратов существует делитель, равный квадратному корню, который не образует пары
  
  

Итоги

В этой главе мы установили несколько критически важных фактов:

1. В разложении на простые множители полного квадрата все показатели степеней четные
   
   
2. Если у числа в разложении все показатели четные — это обязательно полный квадрат
   
   
3. Квадратный корень можно найти, разделив показатели степеней на 2
   
   
4. Любой полный квадрат имеет нечетное количество делителей
   
   
5. Только полные квадраты имеют нечетное количество делителей
   
   

Эти свойства регулярно используются в сложных задачах GMAT и GRE на делимость, множители и анализ целых чисел.