Метод двойной таблицы

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

В более сложных задачах на множества каждый элемент классифицируется сразу по двум признакам.
Например, сотрудники компании могут быть распределены:

• по полу (мужчины / женщины),
  
  
• по уровню образования (бакалавриат / продвинутая степень).
  
  

Каждый сотрудник обязательно относится к одной категории по каждому признаку.
Условие задачи может сообщать:

• общее число женщин (включая все уровни образования),
  
  
• общее число сотрудников с продвинутой степенью (включая оба пола),
  
  
• или очень конкретную величину, например: женщины с продвинутой степенью.
  
  

Чтобы не запутаться в этих пересечениях, используется метод двойной таблицы.

Идея метода двойной таблицы

Мы строим прямоугольную таблицу:

• строки — категории одного признака,
  
  
• столбцы — категории другого признака,
  
  
• дополнительная строка и столбец — итоги.
  
  

Пример структуры (2 × 2)

Пусть:

• столбцы — пол,
  
  
• строки — уровень образования.
  
  

Тогда:

• нужно 3 столбца:
  
  
  • женщины,
    
    
  • мужчины,
    
    
  • всего;
    
    
• и 3 строки:
  
  
  • только бакалавриат,
    
    
  • продвинутая степень,
    
    
  • всего.
    
    

Каждая ячейка — это конкретная группа, например:

• женщины с продвинутой степенью,
  
  
• мужчины с бакалавриатом и т. д.
  
  

И всегда выполняется:

• суммы по строкам дают итоги строк,
  
  
• суммы по столбцам дают итоги столбцов,
  
  
• общая сумма равна сумме всех строк и всех столбцов.
  
  

Пример 1 (числовой)

Условие

В компании 300 сотрудников:

• 120 — женщины,
  
  
• 200 — с продвинутой степенью,
  
  
• остальные — только с бакалавриатом,
  
  
• 80 — мужчины с бакалавриатом.
  
  

Вопрос: сколько женщин с продвинутой степенью?

Шаг 1. Итоги

• всего сотрудников: 300
  
  
• женщин: 120 → мужчин: 180
  
  
• с продвинутой степенью: 200 → только бакалавриат: 100
  
  

Шаг 2. Заполняем таблицу логикой сумм

• мужчины всего: 180
  
  
• мужчины с бакалавриатом: 80
  → мужчины с продвинутой степенью:
  
  

180 − 80 = 100

 

• всего с продвинутой степенью: 200
  → женщины с продвинутой степенью:
  
  

200 − 100 = 100

 

Ответ

100 женщин имеют продвинутую степень.

(Проверка: женщин всего 120 → 20 с бакалавриатом и 100 с продвинутой степенью. Все суммы сходятся.)

Когда категорий больше двух

Если один из признаков имеет 3 категории, то таблица расширяется:

• 3 категории → 4 строки или 4 столбца
  (три категории + строка/столбец итогов).
  
  

Метод остаётся тем же, просто таблица становится больше.

Пример 2 (сложный, уровень GMAT)

Условие

В школе:

• 80 первокурсников,
  
  
• 100 второкурсников,
  
  
• 220 старшекурсников.
  
  

Все студенты из трёх городов:

• 60% — из города A,
  
  
• 30% — из города B,
  
  
• остальные — из города C.
  
  

Дополнительно:

• все студенты из C — первокурсники;
  
  
• половина студентов из B — старшекурсники;
  
  
• остальные из B поровну делятся между первокурсниками и второкурсниками.
  
  

Вопрос: сколько второкурсников из города A?

Шаг 1. Общее количество

80 + 100 + 220 = 400

 

Шаг 2. Итоги по городам

• город A: 60% от 400 = 240
  
  
• город B: 30% от 400 = 120
  
  
• город C: 10% от 400 = 40
  
  

Шаг 3. Используем условия

• все 40 из C — первокурсники → в других строках для C ставим 0;
  
  
• из B:
  
  
  • половина старшекурсники → 60,
    
    
  • оставшиеся 60 делятся поровну → 30 первокурсников и 30 второкурсников.
    
    

Шаг 4. Находим искомое

Во второкурсниках всего 100 человек.

Из них:

• из B — 30,
  
  
• из C — 0,
  
  

значит из A:

100 − 30 − 0 = 70

 

Ответ

70 второкурсников из города A.

Итог по методу двойной таблицы

• Метод идеально подходит для задач, где каждый элемент классифицируется по двум признакам одновременно.
  
  
• Всегда:
  
  
  1. строки суммируются в правом столбце,
     
     
  2. столбцы суммируются в нижней строке,
     
     
  3. общий итог совпадает по строкам и по столбцам.
     
     
• Даже сложные задачи становятся механическими, если аккуратно:
  
  
  1. построить таблицу,
     
     
  2. заполнить итоги,
     
     
  3. последовательно использовать условия.
     
     

Это один из самых надёжных инструментов для сложных задач на множества на GMAT и GRE.

Дальше нас ждут трехкритериальные диаграммы Венна.