Эта тема является частью раздела Арифметика и дроби в Quant GMAT Focus.

Продвинутые техники сравнения дробей — это не обязательный минимум, но на сложных задачах Quant они дают ощутимую экономию времени. Главное — понимать логику, а не “заучивать трюк”. Ниже — методы, которые особенно полезны, когда дроби близки по значению и перекрёстное умножение получается громоздким.

Быстрое напоминание базовых опор

• Больше числитель (при фиксированном положительном знаменателе) → дробь больше.

   

• Больше знаменатель (при фиксированном положительном числителе) → дробь меньше.

   

• Эквивалентные дроби: умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число.

   

Сравнение через перекрёстное умножение:

a/b ? c/d  ⇔  a*d ? c*b   (при b>0 и d>0)

•  

1) “Великий аттрактор”: добавляем одно и то же к числителю и знаменателю

Идея

Если к дроби добавить одно и то же число kkk и в числитель, и в знаменатель, дробь приближается к 1.

• Если дробь была меньше 1, она станет больше (поднимется к 1).

   

• Если дробь была больше 1, она станет меньше (опустится к 1).

   

Почему это работает (логика без магии)

Когда мы добавляем одинаковое kkk, мы “смешиваем” исходную дробь a/ba/ba/b с k/k=1k/k = 1k/k=1. Поэтому значение движется к 1.

Пример 1

Сравнить:

3/5 и 9/11

Заметим:

9/11 получено из 3/5 добавлением +6 к числителю и знаменателю

3/5 + 6/6 → ближе к 1

Так как:

3/5 < 1

то после добавления одинакового числа дробь увеличится:

9/11 > 3/5

Пример 2

Сравнить:

7/4 и 8/5

Дробь 8/5 получена из 7/4 добавлением +1 к числителю и знаменателю.
Так как:

7/4 > 1

то “движение к 1” означает уменьшение:

8/5 < 7/4

Пример 3 (типичный “тестовый” формат)

Сравнить:

147/200 и 150/203

Видно:

150/203 = (147+3)/(200+3)

А исходная дробь:

147/200 < 1

При добавлении одинакового числа дробь становится ближе к 1, то есть растёт:

150/203 > 147/200

2) Аттрактор p/q: добавляем разные числа к числителю и знаменателю

Идея

Если мы переходим:

a/b → (a+p)/(b+q)

то новая дробь становится ближе к p/q, чем исходная a/b.

То есть p/q — “аттрактор” (точка притяжения).

• Если исходная дробь меньше p/q, то результат увеличится.

   

• Если исходная дробь больше p/q, то результат уменьшится.

   

Интуиция (EEAT-friendly)

Добавление ppp к числителю и qqq к знаменателю — это как “подмешать” к дроби отношение p/qp/qp/q. Поэтому итог тянется к p/qp/qp/q.

2.1) Примеры на “аттрактор” 2/5

Пример A

Сравнить:

1/8 и 3/13

Заметим:

3/13 = (1+2)/(8+5)

Значит аттрактор:

p/q = 2/5

Сравним исходную дробь с 2/5:

1/8 < 2/5

Если старт ниже аттрактора, дробь “подтягивается вверх”:

3/13 > 1/8

Пример B

Сравнить:

3/4 и 5/9

Заметим:

5/9 = (3+2)/(4+5)

Аттрактор снова:

2/5

Сравним:

3/4 > 2/5

Значит движение к 2/5 будет “вниз”:

5/9 < 3/4

3) Общая формулировка “аттрактора” (для учеников)

Переход:

a/b → (a+p)/(b+q)

всегда двигает дробь в сторону:

p/q

Если:

a/b < p/q  →  (a+p)/(b+q) > a/b

a/b > p/q  →  (a+p)/(b+q) < a/b

4) Практика: какая дробь больше?

Задача 1

Какая дробь больше:

37/60 или 43/69

Заметим:

43/69 = (37+6)/(60+9)

Аттрактор:

6/9 = 2/3

Сравним исходную:

37/60 ? 2/3

2/3 = 40/60

37/60 < 40/60

⇒ 37/60 < 2/3

Если старт ниже аттрактора, движение вверх:

43/69 > 37/60

Задача 2

Какая дробь больше:

171/100 или 180/109

Заметим:

180/109 = (171+9)/(100+9)

Здесь добавили одинаковое число → аттрактор = 1.

Так как:

171/100 > 1

то после добавления одинакового числа дробь уменьшится (движение к 1 сверху вниз):

180/109 < 171/100

5) Прикладная задача (отношение/ratio): “какое добавление увеличит отношение?”

Есть мешок с 10 зелёными и 40 фиолетовыми шариками. Отношение:

green/purple = 10/40 = 1/4

Добавляют шарики:

1. A) +3 зел, +1 фиол → (10+3)/(40+1) → аттрактор 3/1 = 3
   B) +1 зел, +3 фиол → (10+1)/(40+3) → аттрактор 1/3
   C) +3 зел, +3 фиол → (10+3)/(40+3) → аттрактор 3/3 = 1

Ключ: исходное значение:

1/4

Сравним с каждым аттрактором:

• 1/4 < 3 → движение к 3 идёт вверх → отношение увеличится

   

• 1/4 < 1/3 → движение к 1/3 идёт вверх → отношение увеличится

   

• 1/4 < 1 → движение к 1 идёт вверх → отношение увеличится

   

Итого: все три добавления увеличивают отношение.

Формулы и правила (готово для вставки)

1) Если b>0 и d>0, то сравнение:

   a/b ? c/d  ⇔  a*d ? c*b

2) “Одинаковое добавление” (k к числителю и знаменателю):

   a/b → (a+k)/(b+k)

   результат ближе к 1:

   — если a/b < 1, то (a+k)/(b+k) > a/b

   — если a/b > 1, то (a+k)/(b+k) < a/b

3) “Аттрактор p/q” (разные добавления):

   a/b → (a+p)/(b+q)

   новая дробь ближе к p/q:

   — если a/b < p/q, то (a+p)/(b+q) > a/b

   — если a/b > p/q, то (a+p)/(b+q) < a/b

4) Быстрое сравнение с “якорем”:

   2/3 = 40/60 (масштабирование до общего знаменателя)

   3/5 = 30/50 = 60/100 = 300/500 (удобные эквивалентности)

Итог

• Добавили одинаковое число к числителю и знаменателю → дробь движется к 1.

   

• Добавили ppp к числителю и qqq к знаменателю → дробь движется к p/qp/qp/q.

   

• На задачах про отношения (ratios) это часто быстрее, чем перекрёстное умножение.

Просим обратить внимание еще раз на свойства дробей и следующую главу операцию с дробями.