Основной принцип подсчёта с ограничениями

Эта тема является частью раздела о комбинаторике в Quant GMAT Focus.

Многие задачи на счёт в GMAT и GRE содержат ограничения. Экзамен почти никогда не ограничивается формулировкой вида «расставьте пять человек по порядку». Вместо этого добавляются условия, например:

• один человек должен сидеть рядом с другим,

   

• кто-то обязан сидеть на конкретном месте,

   

• кто-то не может сидеть с краю, и т.д.

   

Именно задачи на подсчёт с ограничениями — это то, с чем вы чаще всего будете сталкиваться на тесте.

Ключевая стратегия при ограничениях

Если задачу на счёт можно разбить на этапы и хотя бы один этап содержит ограничение, действует важное правило:

Всегда начинайте с самого жёсткого (наиболее ограниченного) этапа.

Если ограничений несколько, действуйте в следующем порядке:

1. самый жёсткий этап,

    

2. следующий по степени ограниченности,

    

3. и только затем — полностью свободные этапы.

    

Пример 1. Рассадка детей с условиями

Есть 7 детей, которых нужно посадить на 7 соседних стульев.
Условия:

• Далия должна сидеть на среднем стуле,

   

• Джордж должен сидеть рядом с Далией.

   

Сколькими способами можно их рассадить?

Шаг 1. Анализ без ограничений

Если бы условий не было, количество вариантов равнялось бы:

7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

Но в этой задаче есть ограничения, поэтому такой подход не подходит.

Шаг 2. Самый жёсткий этап

• Далия должна сидеть в центре → 1 возможный вариант.

   

Шаг 3. Следующее ограничение

• Джордж должен сидеть рядом с Далией.
  Он может сидеть либо слева, либо справа → 2 варианта.

   

Шаг 4. Свободные этапы

После этого остаются 5 детей и 5 свободных мест:

• первый из них — 5 вариантов,

   

• второй — 4 варианта,

   

• третий — 3 варианта,

   

• четвёртый — 2 варианта,

   

• последний — 1 вариант.

   

Шаг 5. Применение FCP

Перемножаем все количества:

1 × 2 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

Упростим:

• 5 × 4 = 20

   

• 3 × 2 = 6

   

• 2 × 20 = 40

   

• 6 × 40 = 240

   

Ответ: 240 различных рассадок, удовлетворяющих условиям.

Пример 2. Расписание с обязательной последовательностью

В летней школе есть 5 учебных периодов.
Каждый ученик посещает:

• English

   

• Math

   

• History

   

• Science

   

• Science Lab

   

Условие:
Science Lab должна сразу следовать после Science.

Сколькими способами можно составить расписание?

Шаг 1. Самое жёсткое ограничение

Рассмотрим предмет Science.

• Он не может стоять в 5-м периоде, иначе после него некуда поставить лабораторную.

   

• Значит, Science может стоять только в 1-м, 2-м, 3-м или 4-м периоде.

   

Итого: 4 варианта.

Шаг 2. Принудительный этап

После выбора Science:

• Science Lab автоматически идёт сразу после него,

   

• выбора здесь нет → 1 вариант.

   

Теперь заняты 2 периода.

Шаг 3. Свободные этапы

Остаются 3 предмета и 3 свободных периода:

• первый предмет — 3 варианта,

   

• второй — 2 варианта,

   

• третий — 1 вариант.

   

Шаг 4. Применение FCP

Перемножаем:

4 × 3 × 2 × 1

Или проще:

4 × 6 = 24

Ответ: 24 возможных расписания.

Почему это типичные задачи GMAT / GRE

Подобные задачи:

• содержат чёткие ограничения,

   

• требуют правильного выбора порядка этапов,

   

• напрямую проверяют понимание основного принципа подсчёта.

   

Именно такие формулировки реально встречаются на экзамене.

Выводы

• Большинство задач на счёт в GMAT/GRE содержат ограничения.

   

• Если задачу можно разбить на этапы:

   

  • начинайте с самого ограниченного этапа,

     

  • затем переходите к менее ограниченным,

     

  • и только потом — к свободным этапам.

     

• После этого применяйте основной принцип подсчёта, перемножая количество вариантов на каждом этапе.

   

Это ключевой навык для успешного решения задач на комбинаторику в Quant-разделе. Следующая глава будет посвящена факториальной записи.