Назначение переменных

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

Чтобы решать текстовые задачи алгебраически, сначала нужно ввести переменные. И первое правило здесь такое: осознанно выбирайте буквы для переменных.

Формально математике всё равно, какая буква используется. Но на практике удачный выбор переменной сильно упрощает решение и снижает риск ошибок.

Почему не стоит автоматически брать x

Классическая ошибка — по привычке назначать переменную x. Что обычно происходит дальше:

1. В задаче несколько величин.

    

2. Вы выбираете x для одной из них.

    

3. Решаете уравнение и находите x.

    

4. И тут появляется проблема: что именно означает найденное число?
   Это и есть ответ? Или это промежуточная величина, из которой ещё надо что-то вычислить?

    

Если вы не помните, что именно обозначает x, вы легко теряете смысл решения.

Выбирайте “говорящие” переменные

Лучше выбирать буквы, которые подсказывают смысл, например:

• первая буква имени человека

   

• первая буква названия величины

   

Пример (ситуация с зарплатами)

Есть три женщины: Sarah, Mary, Helen.

Если обозначить зарплату одной женщины как x, то даже найдя x, вы можете не понимать:

• это зарплата Sarah?

   

• Mary?

   

• Helen?

   

Гораздо лучше:

• S — зарплата Sarah

   

• M — зарплата Mary

   

• H — зарплата Helen

   

Тогда, если вы нашли S, вы точно знаете, что нашли.

Дополнительные стратегии выбора переменной

1) Переменная для наименьшего значения

Иногда удобно обозначить самую маленькую величину и выражать остальные через неё.

2) Переменная для искомого значения (target value)

Иногда выгодно обозначить переменной то, что спрашивают в задаче.
Плюс такого подхода: нашли переменную — сразу ответили на вопрос, без лишних шагов.

3) Переменная для “центральной” величины

Если все числа в задаче выражаются через одну основную величину, то логично выбрать переменной эту центральную величину и через неё выразить всё остальное.

Практика 1: цены на молоко и сок

Условие

В магазине Greg’s Groceries:

• половина галлона органического молока стоит на $1.50 дороже, чем половина галлона апельсинового сока.

   

• Eliot купил 7 контейнеров сока и 3 контейнера молока (всего 10 контейнеров).

   

• всего он потратил $27.

   

Вопрос: сколько стоит половина галлона молока?

Шаг 1. Выбираем переменную

Искомая величина — цена молока, значит удобно взять:

• M — цена молока (в долларах)

   

Тогда сок дешевле на $1.50:

• J = M — 1.5

   

Шаг 2. Записываем уравнение расходов

Общая сумма:

• 3 контейнера молока: 3M

   

• 7 контейнеров сока: 7J

   

Итого:

• 7J + 3M = 27

   

Подставляем J = M — 1.5:

• 7(M — 1.5) + 3M = 27

   

Шаг 3. Раскрываем скобки и решаем

Сначала вычислим 7 * 1.5:

• 1.5 = 1 + 0.5

   

• 7 * 1 = 7

   

• 7 * 0.5 = 3.5

   

• 7 + 3.5 = 10.5

   

Теперь раскрываем:

• 7M — 10.5 + 3M = 27

   

Собираем подобные:

• 10M — 10.5 = 27

   

Прибавим 10.5 к обеим частям:

• 10M = 37.5

   

Делим на 10:

• M = 3.75

   

Ответ

Половина галлона органического молока стоит $3.75.

Практика 2: штраф и доли выплат

Идея выбора переменной

Здесь можно было бы взять переменные S, J, P, но все величины выражены через общий штраф.
Значит логично взять:

• F — сумма штрафа

   

Перевод текста в выражения

• Joe заплатил на $3 больше, чем 1/4 штрафа:
  F/4 + 3

   

• Peter заплатил на $3 меньше, чем 1/3 штрафа:
  F/3 — 3

   

• Sam заплатил на $4 меньше, чем 1/2 штрафа:
  F/2 — 4

   

Сумма выплат равна штрафу:

• (F/4 + 3) + (F/3 — 3) + (F/2 — 4) = F

   

Упрощаем

+3 и -3 сокращаются:

• F/4 + F/3 + F/2 — 4 = F

   

Убираем дроби (умножаем на НОК)

Знаменатели: 4, 3, 2
НОК = 12 (12 делится на 2, 3 и 4)

Умножаем всё уравнение на 12:

• 12*(F/4) + 12*(F/3) + 12*(F/2) — 12*4 = 12F

   

Считаем:

• 12*(F/4) = 3F

   

• 12*(F/3) = 4F

   

• 12*(F/2) = 6F

   

• 12*4 = 48

   

Получаем:

• 3F + 4F + 6F — 48 = 12F

   

Собираем:

• 13F — 48 = 12F

   

Переносим:

• F = 48

   

Штраф равен $48.

Но вопрос: сколько заплатил Sam?

Sam платит:

• F/2 — 4

   

Подставим F = 48:

• 48/2 — 4 = 24 — 4 = 20

   

Ответ

Sam заплатил $20.

(Для проверки: Joe = 48/4 + 3 = 12 + 3 = 15, Peter = 48/3 — 3 = 16 — 3 = 13, сумма 15 + 13 + 20 = 48.)

Выводы

• Не используйте “безликие” переменные вроде x, если в задаче много величин: легко потерять смысл.

   

• Выбирайте говорящие буквы, связанные с объектом (имя человека, название величины).

   

• Иногда выгодно:

   

  • взять переменную для наименьшей величины

     

  • взять переменную для искомого значения

     

  • взять переменную для центральной величины, если всё выражается через неё

Далее мы изучим как составлять уравнения.