Введение в дроби

Эта тема является частью раздела Арифметика и дроби в Quant GMAT Focus.

Дроби — один из ключевых и самых недооценённых разделов Quant. Ошибки в дробях почти всегда приводят к потере лёгких баллов, потому что GMAT проверяет аккуратность мышления, а не сложность вычислений.

1) Что такое дробь

Дробь состоит из двух частей:

• числитель (numerator) — верхняя часть
  
  
• знаменатель (denominator) — нижняя часть
  
  

Пример:

3/16

 

• числитель = 3
  
  
• знаменатель = 16
  
  

⚠️ Эти термины редко проверяются напрямую, но постоянно используются в формулировках и объяснениях.

2) Дроби на числовой прямой

• дроби могут быть положительными и отрицательными
  
  
• между любыми двумя целыми числами существует бесконечно много дробей
  
  

знак «−» можно ставить:

−3/5 = (−3)/5 = 3/(−5)

•  все формы полностью эквивалентны
  
  

3) Два способа понимать дроби (критически важно)

1️⃣ Дробь как деление

2/7 = 2 ÷ 7

 

2️⃣ Дробь как части целого

Если целое разделено на 7 равных частей,

2/7 = 2 таких части

 

👉 На GMAT нужно уметь переключаться между этими интерпретациями.

4) Эквивалентные дроби

Две дроби эквивалентны, если имеют одно и то же числовое значение, но разные числители и знаменатели.

Правило

a/b = (a × k) / (b × k),   k ≠ 0

 

Пример

2/3 = 10/15

 

потому что:

10/15 = (2×5)/(3×5)

 

📌 Мы фактически умножаем дробь на:

k/k = 1

 

5) Сокращение дробей = деление, а не «исчезновение»

❌ Неправильное мышление:

«Восьмёрки просто сократились»

✅ Правильное мышление:
Сокращение — это деление числителя и знаменателя на одно и то же число.

Пример

8/40

 

Мы делим и числитель, и знаменатель на 8:

8 ÷ 8 = 1

40 ÷ 8 = 5

 

Результат:

1/5

 

⚠️ Это фундаментальный момент, на котором «ломается» понимание дробей.

6) Дробь в наименьших терминах (simplest form)

Дробь записана в наименьших терминах, если:

• числитель и знаменатель не имеют общих множителей, кроме 1
  
  

Пример

72/96

 

Сокращаем:

72 ÷ 6 = 12

96 ÷ 6 = 16

 

ещё:

12 ÷ 4 = 3

16 ÷ 4 = 4

 

Итог:

3/4

 

📌 Ключевое правило GMAT:

Ответ в виде дроби всегда должен быть в simplest form
Иначе он никогда не будет правильным

7) Почему всегда упрощаем дроби

1️⃣ вычисления становятся проще
2️⃣ легче видеть сокращения
3️⃣ совпадает с форматом ответов GMAT
4️⃣ снижает риск ошибок

Сравните:

72/96  ❌

3/4    ✅

 

8) Дроби больше 1: improper vs mixed numbers

Если:

числитель > знаменатель

 

дробь больше 1.

Два варианта записи

1️⃣ Неправильная дробь (improper fraction)

5/3

 

2️⃣ Смешанное число (mixed numeral)

1 2/3

 

⚠️ По соглашению:

• дробная часть всегда < 1
  
  
• между целой и дробной частью подразумевается сложение
  
  

4 3/5 = 4 + 3/5

 

9) Перевод mixed number → improper fraction

Алгоритм

a b/c = (a × c + b) / c

 

Пример

4 3/5

 

Шаги:

4 = 4 × 5/5 = 20/5

 

20/5 + 3/5 = 23/5

 

Итог:

23/5

 

📌 Для вычислений почти всегда выгоднее использовать improper fractions.

10) Формулы и правила (готовый блок)

Эквивалентные дроби

a/b = (a×k)/(b×k)

 

Сокращение

(a×k)/(b×k) = a/b

 

Simplest form

gcd(a,b) = 1

 

Mixed → Improper

a b/c = (a×c + b)/c

 

11) Типичные ошибки на GMAT

❌ не сокращают дроби
❌ «сокращают» без деления
❌ оставляют ответ в виде 72/96
❌ считают mixed number как умножение
❌ выполняют вычисления в mixed form

Краткое резюме

• дробь = деление и части целого
  
  
• эквивалентность достигается умножением / делением на одно и то же число
  
  
• сокращение — это деление
  
  
• всегда приводим к simplest form
  
  
• для вычислений используем improper fractions

В следующих главах нам следует подробнее изучить переход между дробями и десятичными числами, а также свойства дробей и быстрые правила сравнения.