Вертикальные и горизонтальные прямые

Эта тема является частью раздела о координатной плоскости в Quant GMAT Focus.

Как мы обсуждали в предыдущем уроке, каждая прямая на XY-плоскости имеет своё уникальное уравнение. В этом и заключается одно из самых сильных свойств координатной (декартовой) плоскости:
она позволяет связать алгебру (уравнения) и геометрию (фигуры).

Самыми простыми уравнениями являются уравнения горизонтальных и вертикальных прямых.

Горизонтальные прямые

Рассмотрим типичную горизонтальную прямую, расположенную ниже оси X.

Некоторые точки на этой прямой:

• (0, −3)

   

• (1, −3)

   

• (2, −3)

   

• (−1, −3)

   

• (−2, −3)

   

Очень быстро становится заметен закономерный факт:

• x-координата может быть любой,

   

• y-координата всегда равна −3.

   

Эту закономерность можно записать элегантно и кратко:

y = −3

Это и есть уравнение данной горизонтальной прямой.

Общее уравнение горизонтальной прямой

Любая горизонтальная прямая состоит из точек, находящихся на одной и той же высоте, то есть на одинаковом расстоянии выше или ниже оси X.

Если мы задаём:

• эту высоту,

   

• то есть значение y, в котором прямая пересекает ось Y,

   

мы полностью определяем прямую.

Общий вид уравнения горизонтальной прямой:

y = k

где:

• k — высота прямой,

   

• k — это также y-пересечение (y-intercept).

   

Уравнение оси X

Ось X — это не что иное, как обычная горизонтальная прямая.

Она:

• проходит через начало координат,

   

• имеет y-пересечение, равное 0.

   

Следовательно, уравнение оси X:

y = 0

Это важный момент:
чтобы записать уравнение оси X, мы используем y, а не x.

Вертикальные прямые

Аналогично горизонтальным, рассмотрим вертикальные прямые.

Все точки на вертикальной прямой имеют:

• одинаковую x-координату.

   

Например, если каждая точка имеет x = 4, то уравнение этой прямой:

x = 4

Это самый компактный и точный способ описать вертикальную прямую.

Общее уравнение вертикальной прямой

Любая вертикальная прямая, пересекающая ось X в точке k, имеет уравнение:

x = k

Уравнение оси Y

Ось Y — это вертикальная прямая, проходящая через x = 0.

Следовательно, её уравнение:

x = 0

И снова важный момент:

• чтобы записать уравнение оси Y, мы используем x.

   

Горизонтальные и вертикальные линии: важные свойства

• Любые две точки с одинаковой y-координатой лежат на одной горизонтальной прямой.

   

• Любые две точки с одинаковой x-координатой лежат на одной вертикальной прямой.

   

• Любая горизонтальная прямая перпендикулярна любой вертикальной прямой.

   

Если точка C:

• имеет ту же x-координату, что и точка A (значит, лежит с ней на одной вертикальной прямой),

   

• и ту же y-координату, что и точка B (значит, лежит с ней на одной горизонтальной прямой),

   

то угол ACB обязательно равен 90 градусам.

Квадранты и движение прямых

• Горизонтальная прямая может проходить через квадранты I и II или через квадранты III и IV.

   

• Вертикальная прямая может проходить через квадранты II и III или через квадранты I и IV.

   

• Большинство горизонтальных и вертикальных прямых проходят ровно через два квадранта.

   

• Большинство наклонных прямых проходят через три квадранта (это будет обсуждаться позже).

   

Расстояния на координатной плоскости

В общем случае расстояния на XY-плоскости могут быть сложными, и этому будет посвящён отдельный урок.

Однако:

• вертикальные и горизонтальные расстояния находятся очень просто — обычным вычитанием.

   

Пример 1: вертикальное расстояние

Найти расстояние между точками:

• (5, 1)

   

• (5, 8)

   

Обе точки имеют одинаковую x-координату, значит расстояние вертикальное.

Расстояние:

• 8 − 1 = 7

   

Пример 2: горизонтальное расстояние

Найти расстояние между точками:

• (−3, 2)

   

• (9, 2)

   

Обе точки имеют одинаковую y-координату, значит расстояние горизонтальное.

Расстояние:

• 9 − (−3) = 9 + 3 = 12

   

Пример задачи уровня GMAT

Условие:
Прямая P — горизонтальная прямая на координатной плоскости.
Прямая Q перпендикулярна прямой P и проходит через точку (5, 7).
Найти уравнение прямой Q.

Решение:

• Прямая, перпендикулярная горизонтальной, является вертикальной.

   

• Уравнение любой вертикальной прямой имеет вид x = k.

   

• Так как прямая проходит через точку (5, 7), её x-координата равна 5.

   

Ответ:
x = 5

Более сложный пример

Условие:
На координатной плоскости показаны:

• вертикальная прямая x = 2,

   

• точка (7, 3).

   

Найти уравнение горизонтальной прямой, расположенной выше точки (7, 3) и находящейся от неё на таком же расстоянии, как и прямая x = 2.

Решение:

• Расстояние от точки до вертикальной прямой определяется по горизонтали.

   

• x-координата точки: 7

   

• x-координата прямой: 2

   

• Расстояние: 7 − 2 = 5

   

• Горизонтальная прямая должна находиться выше точки на расстоянии 5.

   

• y-координата точки: 3

   

• 3 + 5 = 8

   

Ответ:
y = 8

Итоговые выводы

• Горизонтальные прямые имеют вид y = k.

   

• Вертикальные прямые имеют вид x = k.

   

• Уравнение оси X: y = 0.

   

• Уравнение оси Y: x = 0.

   

• Если две точки имеют одинаковую x-координату — расстояние между ними вертикальное.

   

• Если две точки имеют одинаковую y-координату — расстояние между ними горизонтальное.

   

Эти идеи регулярно используются в задачах GMAT и должны быть доведены до автоматизма.

Далее рассмотрим наклон прямой.