Введение в последовательности

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

Последовательность — это упорядоченный список чисел. Каждый элемент стоит на своем месте и подчиняется некоторому правилу (шаблону). Все примеры последовательностей — это просто списки чисел, где каждое число получается по определенному закону.

Для целей экзамена GMAT / GRE важно понимать следующее:

• последовательности на тесте всегда бесконечные;

   

• их правила относительно простые;

   

• на экзамене не требуется распознавать сложные или «хитрые» математические конструкции.

   

Иногда от вас потребуется самостоятельно определить закономерность, но гораздо чаще:

• правило уже задано,

   

• а вопрос касается значения конкретного члена последовательности,

   

• либо суммы или разности нескольких членов.

   

Обозначения и нотация

Последовательность в целом обозначается одной буквой, обычно строчной.
Отдельный элемент последовательности обозначается индексом (подстрочным числом).

Пример:

• запись a₅ = 28 означает, что пятый элемент последовательности равен 28;

   

• число 5 — это позиция в списке, а не значение.

   

Общий член последовательности записывается как aₙ, где:

• n — индекс, то есть номер элемента,

   

• n принимает значения 1, 2, 3, 4 и так далее (натуральные числа).

   

Задание последовательности формулой

Один из самых удобных способов задать последовательность — алгебраическая формула для aₙ.

Пример:

rₙ = n · (n + 2)

Эта формула определяет всю бесконечную последовательность.
Для любого значения n мы можем подставить его и получить соответствующий элемент списка.

Пример: нахождение первых членов

Рассмотрим последовательность:

rₙ = n · (n + 2)

Найдем первые несколько элементов:

• n = 1: 1 · 3 = 3

   

• n = 2: 2 · 4 = 8

   

• n = 3: 3 · 5 = 15

   

• n = 4: 4 · 6 = 24

   

• n = 5: 5 · 7 = 35

   

Последовательность начинается так:
3, 8, 15, 24, 35

Важно: если бы вам просто дали эти числа, определить формулу было бы сложно.
Но экзамен этого не требует — формула обычно дана явно.

Быстрый переход к любому члену

Если формула известна, можно сразу находить любой элемент, не выписывая предыдущие.

Пример вопроса:

Найдите 48-й член последовательности rₙ = n · (n + 2)

Решение:

• r₄₈ = 48 · 50

   

• используем прием «удвоение и деление пополам»:
  половина от 48 — это 24

   

• 24 · 100 = 2400

   

Ответ: 48-й член равен 2400.

Пример с дробями (типичный формат GMAT)

Дана последовательность, заданная формулой с дробями.
Требуется найти разность двух членов.

Шаги решения:

1. Подставляем n = 10
   → a₁₀ = 1/12

    

2. Подставляем n = 6
   → a₆ = 1/8

    

3. Вычисляем разность:
   1/12 − 1/8

    

Приводим к общему знаменателю:

• 1/12 = 2/24

   

• 1/8 = 3/24

   

Разность:
2/24 − 3/24 = −1/24

Ответ: −1/24

Базовые последовательности, которые нужно знать

Эти шаблоны часто используются как строительные блоки более сложных задач:

• aₙ = n — все положительные целые числа:
  1, 2, 3, 4, 5, …

   

• aₙ = 2n − 1 — все положительные нечетные числа

   

• aₙ = 2n — все положительные четные числа

   

• aₙ = 7n — все положительные кратные 7

   

• aₙ = n² — все положительные квадраты

   

• aₙ = 3ⁿ — степени числа 3

   

Практический пример на делимость

Рассмотрим последовательность, заданную формулой:

bₙ = (2n − 1)(2n + 3)

Вопрос:

Какие утверждения могут быть верны хотя бы для некоторых членов последовательности?

1. Делится на 2

    

2. Делится на 3

    

3. Делится на 5

    

Анализ:

• при n = 1: b₁ = 5 → делится на 5

   

• при n = 2: b₂ = 21 → делится на 3

   

Следовательно, II и III возможны.

Теперь проверим делимость на 2:

• 2n — всегда четное число

   

• 2n − 1 и 2n + 3 — всегда нечетные

   

• произведение двух нечетных чисел — нечетное

   

Вывод:

• ни один член последовательности не может делиться на 2.

   

Правильный ответ: II и III.

Итог

• Последовательность — это упорядоченный список чисел.

   

• В записи aₙ индекс n указывает позицию элемента.

   

• Вся бесконечная последовательность может быть задана одной формулой.

   

• Если формула известна, можно мгновенно находить любой член, не выписывая предыдущие.

   

• Простые шаблоны (четные, нечетные, квадраты, степени) — основа большинства задач GMAT Quant.

Далее мы изучим арифметические последовательности, рекурсивные последовательности и последовательные целые числа.