Примеры применения правила OR

Эта тема является частью раздела о вероятностях в Quant GMAT Focus.

Теперь, когда мы разобрали общее правило OR, можно перейти к конкретным примерам его применения.

Сначала напомним саму формулу:

P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)

Это одно из фундаментальных правил теории вероятностей. Обратите внимание, что оно уточняет так называемое «наивное» правило OR, согласно которому OR просто означает сложение. Это упрощённое правило работает только для взаимоисключающих событий. В общем случае необходимо использовать полную формулу.

Экзаменационная задача

Рассмотрим следующую задачу.

Условие:
В игре M:

• вероятность события A равна 0.6,

   

• вероятность события B равна 0.7,

   

• вероятность события A или B равна 0.9.

   

Вопрос:
Какова вероятность того, что события A и B произойдут одновременно?

Ключевая идея решения

Нам известны:

• P(A),

   

• P(B),

   

• P(A или B),

   

а требуется найти:

• P(A и B).

   

Несмотря на то что формула OR чаще используется для нахождения P(A или B), её можно алгебраически преобразовать и использовать для поиска вероятности пересечения событий.

Шаг 1. Записываем общее правило OR

P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)

Шаг 2. Подставляем известные значения

0.9 = 0.6 + 0.7 − P(A и B)

Шаг 3. Упрощаем выражение

0.9 = 1.3 − P(A и B)

Шаг 4. Выражаем искомую вероятность

P(A и B) = 1.3 − 0.9
P(A и B) = 0.4

Ответ

Вероятность того, что события A и B произойдут одновременно, равна 0.4.

Экзаменационный вывод

Если вам известны:

• вероятность события A,

   

• вероятность события B,

   

• вероятность события A или B,

   

вы всегда можете использовать общее правило OR и решить его относительно P(A и B).

GMAT и GRE часто проверяют именно это умение — не просто помнить формулу, а гибко работать с ней, переставляя элементы и находя недостающую величину.

В следующих задачах мы продолжим рассматривать примеры, где правило OR применяется в более прикладных и менее очевидных ситуациях. Начнем с рассмотрения независимых событий.