Операции с корнями

Эта тема является частью раздела о степенях и корнях в Quant GMAT Focus.

На GMAT от вас ожидают уверенное выполнение всех базовых арифметических операций с корнями: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. В этом уроке мы системно разберём каждую из них и отдельно укажем на типичные ловушки теста.

1. Сложение и вычитание корней: что делать НЕЛЬЗЯ

Начнём с самого важного ограничения.

Нельзя складывать или вычитать выражения внутри радикала.

Например:

• √72 − √32 не равно √40
  
  

Это математически неверно, хотя выглядит очень соблазнительно. Именно на такие ошибки GMAT рассчитывает, особенно когда вы решаете задачу под давлением времени.

2. Правильный подход к сложению и вычитанию корней

Алгоритм всегда один:

1. Упростить каждый корень отдельно
   
   
2. Сложить или вычесть только одинаковые радикалы
   
   

Пример:

√72 − √32

Упрощаем по отдельности:

• √72 = √(36 × 2) = 6√2
  
  
• √32 = √(16 × 2) = 4√2
  
  

Теперь радикалы одинаковые:

• 6√2 − 4√2 = 2√2
  
  

Важное правило

Можно объединять только одинаковые радикалы:

• 6√2 − 4√2 — можно
  
  
• 6√2 − 4√3 — нельзя, дальше не упрощается
  
  

3. Умножение корней

При умножении важно помнить два свойства:

• умножение коммутативно
  
  
• умножение ассоциативно
  
  

Это означает, что мы можем перегруппировывать множители как угодно.

Простой пример

3√5 × 7√2

Группируем:

• целые числа отдельно
  
  
• радикалы отдельно
  
  

Вычисляем:

• 3 × 7 = 21
  
  
• √5 × √2 = √10
  
  

Результат:

• 21√10
  
  

Пример с упрощением под корнем

6√5 × 2√15

1. Перемножаем коэффициенты:
   
   

• 6 × 2 = 12
  
  

1. Перемножаем радикалы:
   
   

• √(5 × 15) = √75
  
  

1. Упрощаем √75:
   
   

• √75 = √(25 × 3) = 5√3
  
  

Итог:

• 12 × 5√3 = 60√3
  
  

4. Большие числа под корнем: чего делать НЕ НУЖНО

Пример:

• 2√42 × 4√63
  
  

Плохая идея:

• считать 42 × 63 (это сразу большое число)
  
  

Правильная стратегия:

• разложить на множители
  
  

Разложим:

• 42 = 2 × 3 × 7
  
  
• 63 = 3 × 3 × 7
  
  

Теперь собираем пары:

• (3 × 3) → квадрат
  
  
• (7 × 7) → квадрат
  
  

Вычисляем:

• коэффициенты: 2 × 4 = 8
  
  
• из-под корня выходит: 3 × 7 = 21
  
  
• под корнем остаётся: 2 × 3 = 6
  
  

Итог:

• 8 × 21√6 = 168√6
  
  

Критическая ошибка

Нельзя умножать коэффициент на число под корнем:

• 2√6 ≠ √12
  
  

Всегда держите отдельно:

• то, что под корнем
  
  
• то, что вынесено наружу
  
  

5. Деление корней

При делении действуем так же:

• целые числа делим на целые
  
  
• корни делим на корни
  
  

Пример (удачный случай)

(54√35) / (18√5)

1. Делим коэффициенты:
   
   

• 54 / 18 = 3
  
  

1. Делим радикалы:
   
   

• √35 / √5 = √7
  
  

Результат:

• 3√7
  
  

Здесь радикал в знаменателе сократился полностью — но это редкость.

В большинстве задач радикал в знаменателе не исчезает, и тогда требуется рационализация знаменателя.
Это отдельная важная тема, которая разбирается в следующем уроке.

6. Возведение радикальных выражений в степень

Степень распределяется по умножению, поэтому:

• (a√b)ⁿ = aⁿ × (√b)ⁿ
  
  

Пример 1: квадрат

(5√6)²

• 5² = 25
  
  
• (√6)² = 6
  
  

Результат:

• 150
  
  

Пример 2: четвёртая степень

(2√3)⁴

Способ 1 (напрямую):

• 2⁴ = 16
  
  
• (√3)⁴ = (3)² = 9
  
  
• 16 × 9 = 144
  
  

Способ 2 (через двойное возведение):

• (2√3)⁴ = ((2√3)²)²
  
  
• (2√3)² = 4 × 3 = 12
  
  
• 12² = 144
  
  

Оба способа корректны — полезно видеть несколько путей решения.

7. Чётные степени радикалов

Любая чётная степень квадратного корня превращается в степень целого числа.

Пример:

• (√2)⁴⁸
  
  

Записываем:

• 48 = 2 × 24
  
  
• (√2)² = 2
  
  

Получаем:

• 2²⁴
  
  

Даже если вы не можете вычислить значение, вы можете сравнивать величины и использовать законы степеней.

Итоги урока

1. При сложении и вычитании:
   
   
   • сначала упростить каждый корень
     
     
   • затем объединять только одинаковые радикалы
     
     
2. При умножении и делении:
   
   
   • отдельно работаем с коэффициентами
     
     
   • отдельно с радикалами
     
     
   • радикалы можно перемножать и делить напрямую
     
     
3. При возведении в степень:
   
   
   • степень распределяется по каждому множителю
     
     
   • чётная степень радикала даёт степень целого числа
     
     

Этот набор правил покрывает практически все операции с корнями, которые встречаются в GMAT Quant, и позволяет решать задачи быстро и без ошибок.

Рассмотрим далее уравнения с квадратными корнями.