Отрицательные показатели степени

Эта тема является частью раздела о степенях и корнях в Quant GMAT Focus.

К этому моменту мы уже разобрали положительные целые показатели и нулевую степень. Там всё интуитивно: показатель степени — это «сколько множителей».

Теперь мы расширяем определение: показатель может быть отрицательным целым. Возникает вопрос:
что вообще значит b в степени -3?

В математике часто делают так: берут уже известный и понятный закон и расширяют его, чтобы покрыть новый случай. Здесь мы используем закон деления степеней.

1. Откуда берётся правило отрицательных степеней

Числовой пример

Рассмотрим дробь, где степень в знаменателе больше:

13 в степени 4 / 13 в степени 7

Если применить закон деления степеней (для одинаковых оснований), получаем:

• 13 в степени (4 − 7) = 13 в степени -3

   

Теперь объясним через «множители»:

• 13 в степени 4 — это 4 множителя 13

   

• 13 в степени 7 — это 7 множителей 13

   

Сокращаем 4 множителя 13 в числителе и знаменателе. Тогда:

• в числителе остаётся 1

   

• в знаменателе остаётся 3 множителя 13

   

Значит дробь равна:

• 1 / 13 в степени 3

   

Мы получили два выражения для одного и того же числа:

• 13 в степени -3

   

• 1 / 13 в степени 3

   

Следовательно, они равны, и отсюда правило:

Правило отрицательных степеней:

b в степени -n = 1 / b в степени n

2. Ещё один способ понять правило

Любое отрицательное число можно записать как:

• -n = 0 − n

   

Тогда:

• b в степени -n = b в степени (0 − n)

   

А «вычитание в показателях» соответствует делению степеней:

• b в степени (0 − n) = b в степени 0 / b в степени n

   

Но b в степени 0 = 1 (при b ≠ 0), значит:

• b в степени -n = 1 / b в степени n

   

3. «Лестница степеней» (интуиция через шаги)

Возьмём степени двойки:

Если двигаться вправо по показателям (… 2, 3, 4, 5 …), показатель увеличивается на 1, а значение умножается на 2.
Если двигаться влево, показатель уменьшается на 1, а значение делится на 2.

Например, если:

• 2 в степени 0 = 1

   

то шаг влево даёт:

• 2 в степени -1 = 1/2

   

• 2 в степени -2 = 1/4

   

• 2 в степени -3 = 1/8

   

• 2 в степени -4 = 1/16

   

Это идеально согласуется с правилом:

• 2 в степени -n = 1 / 2 в степени n

   

4. Формулировка правила в удобном виде

Основание в отрицательной степени — это обратное число (reciprocal) к основанию в положительной степени.

b в степени -n = 1 / b в степени n

5. Отрицательная степень у дроби

Если основание — дробь:

(p/q) в степени -n = (q/p) в степени n

То есть отрицательная степень переворачивает дробь и делает показатель положительным.

Это очень полезный «короткий путь» на GMAT.

6. Перенос степени через дробную черту

Правило для упрощения выражений:

• если x в степени -k стоит в числителе, можно перенести его в знаменатель как x в степени k

   

• если x в степени -k стоит в знаменателе, можно перенести его в числитель как x в степени k

   

Смена места через дробную черту меняет знак показателя.

Пример-идея:

• d в степени -8 в числителе → переносим вниз → d в степени 8 в знаменателе

   

• h в степени -4 в знаменателе → переносим вверх → h в степени 4 в числителе

   

Цель — переписать выражение так, чтобы все показатели стали положительными.

7. Пример упрощения (как на тесте)

Рассмотрим типичную задачу на упрощение:

(8x в степени 12 y в степени 9) / (6x в степени -4 y в степени 3)

Шаг 1. Упростить коэффициенты

8/6 сокращается на 2:

• 8/6 = 4/3

   

Шаг 2. Работа со степенями x

В знаменателе x в степени -4. Переносим вверх как x в степени 4, или используем закон деления:

x в степени 12 / x в степени -4 = x в степени (12 − (-4)) = x в степени 16

Шаг 3. Работа со степенями y

y в степени 9 / y в степени 3 = y в степени (9 − 3) = y в степени 6

Ответ

(4/3) x в степени 16 y в степени 6

8. Пример на сравнение (ranking) с отрицательными степенями

Нужно упорядочить от меньшего к большему:

1. I) (1/3) в степени -8
   II) 3 в степени -3
   III) (1/3) в степени 5

Шаг 1. Переписать отрицательные степени

1. I) (1/3) в степени -8 = 3 в степени 8 (очень большое число)
2. II) 3 в степени -3 = 1 / 3 в степени 3 = 1/27

III) (1/3) в степени 5 — это положительная степень дроби меньше 1, значит число очень маленькое. Причём:
(1/3) в степени 5 < (1/3) в степени 3 = 1/27

Значит:

• III — самое маленькое

   

• II — среднее

   

• I — самое большое

   

Порядок: III, II, I

Итоги модуля

1. Главное правило:

    

• b в степени -n = 1 / b в степени n

   

1. Дробь в отрицательной степени переворачивается:

    

• (p/q) в степени -n = (q/p) в степени n

   

1. Перенос через дробную черту меняет знак показателя:

    

• x в степени -k из числителя → в знаменатель как x в степени k

   

• x в степени -k из знаменателя → в числитель как x в степени k

   

Это базовые инструменты, без которых невозможно уверенно решать задачи GMAT на степени и алгебраические упрощения.

Далее нам следует рассмотреть дополнительные законы степеней.