Кратные числа

Эта тема является частью раздела целочисленных свойств в Quant GMAT Focus.

В предыдущих главах этого модуля мы установили, что следующие утверждения эквивалентны:

• 7 — фактор числа 91
  
  
• 7 — делитель числа 91
  
  
• 91 делится на 7
  
  

Все три формулировки передают одну и ту же математическую информацию.
Существует и четвертый эквивалентный способ выразить эту идею.

Что такое multiple (кратное)

Мы можем сказать:

91 — кратное (multiple) числа 7.

На протяжении всей главы будем считать, что P, Q и r — положительные целые числа.

Определение

Если сказано, что P является кратным r, это означает:

• существует положительное целое число, на которое можно умножить r, чтобы получить P
  
  
• следовательно, r является фактором и делителем числа P
  
  

Иначе говоря:

• если P — кратное r, то r — фактор P
  
  
• если r — фактор P, то P — кратное r
  
  

Multiple и factor находятся в обратном логическом отношении.

Примеры кратных чисел

• 75 и 1250 — кратные 5
  (любое число, оканчивающееся на 5 или 0, является кратным 5)
  
  
• 63 и 888 — кратные 3
  (8 + 8 + 8 = 24, а 24 делится на 3)
  
  

Если число делится на r, значит оно является кратным r.

Идея 1: кратные числа и единица

• Так же как 1 является фактором любого целого числа,
  любое положительное целое число является кратным 1
  
  

Поэтому говорить о «кратных 1» не имеет смысла — это все положительные целые числа.

Кроме того:

• каждое положительное целое число является кратным самого себя
  
  

Важное следствие

Число 5:

• является фактором 5
  
  
• является кратным 5
  
  

Причем 5 — единственное число, которое одновременно является фактором и кратным 5.

Идея 2: как находить первые кратные числа

Чтобы найти первые n кратных числа, нужно просто умножить его на:

1, 2, 3, 4, …, n

Пример

Найдем первые пять кратных числа 12:

• 12 × 1 = 12
  
  
• 12 × 2 = 24
  
  
• 12 × 3 = 36
  
  
• 12 × 4 = 48
  
  
• 12 × 5 = 60
  
  

Первые пять кратных 12:
12, 24, 36, 48, 60

Альтернативный способ — последовательно прибавлять 12:

• 12
  
  
• 12 + 12 = 24
  
  
• 24 + 12 = 36
  
  
• 36 + 12 = 48
  
  

Идея 3: получение новых кратных через сложение и вычитание

Если P — кратное r, то:

• P + r — тоже кратное r
  
  
• P — r — тоже кратное r
  
  

Пример

Пусть известно, что 2401 — кратное 7
(на самом деле это 7 в четвертой степени, но это знать не требуется)

Тогда:

• 2401 + 7 = 2408 — кратное 7
  
  
• 2408 + 7 = 2415 — кратное 7
  
  
• 2415 + 7 = 2422 — кратное 7
  
  

Или:

• 2401 — 7 = 2394
  
  
• 2394 — 7 = 2387
  
  

Все эти числа — кратные 7.

Если вам известен один кратный r, вы можете легко получить много других.

Идея 4: сумма и разность кратных

Если P и Q — кратные r, то:

• P + Q — кратное r
  
  
• P — Q — кратное r
  
  

Пример

• 700 — кратное 7
  
  
• 49 — кратное 7
  
  

Следовательно:

• 700 + 49 = 749 — кратное 7
  
  
• 749 + 49 = 798 — кратное 7
  
  
• 700 — 49 = 651 — кратное 7
  
  
• 651 — 49 = 602 — кратное 7
  
  

Все эти числа получены исключительно за счет сложения и вычитания известных кратных.

Идея 5: кратное кратного

Рассмотрим число 52:

• 52 — кратное 13
  
  

Следовательно:

• любое кратное 52 автоматически является кратным 13
  
  

Обобщение

Если P — кратное r, то:

• любое кратное P также является кратным r
  
  

Это очень мощное свойство, которое часто используется в задачах GMAT.

Произведение кратных

Если:

• P — кратное r
  
  
• Q — кратное r
  
  

то:

• произведение P × Q обязательно является кратным r
  
  

Пример

• 24 и 80 — кратные 8
  
  

Следовательно:

• 24 + 80 — кратное 8
  
  
• 80 — 24 — кратное 8
  
  
• 24 × 80 — кратное 8
  
  

Важное ограничение

Деление не сохраняет кратность.

Например:

• 80 ÷ 24 не является целым числом
  
  
• значит результат не является кратным ни 8, ни какого-либо другого целого числа
  
  

Экзаменационный пример (GMAT-style)

Условие:
Числа K, K + 200, K + 350 и 15K являются кратными P.
Чему может быть равно P?

Шаг 1. Убираем лишнее

Если K — кратное P, то:

• 15K всегда будет кратным P
  
  

Это условие не дает новой информации.

Шаг 2. Используем разность кратных

Если:

• K и K + 200 — кратные P
  
  

то:

• (K + 200) — K = 200 — кратное P
  
  

Аналогично:

• (K + 350) — K = 350 — кратное P
  
  

Шаг 3. Продолжаем вычитание

Если 200 и 350 — кратные P, то:

• 350 — 200 = 150 — кратное P
  
  
• 200 — 150 = 50 — кратное P
  
  

Таким образом, числа:
200, 350, 150 и 50 — все кратные P.

Шаг 4. Анализируем минимальное значение

Рационально сосредоточиться на наименьшем числе, то есть на 50.

P должен быть делителем 50.

Из вариантов ответа только 25 является возможным делителем 50.

Ответ:

P = 25

Итоги

В этой главе мы разобрали:

• что такое кратные числа (multiples) и их связь с факторами и делителями
  
  
• обратное отношение между понятиями multiple и factor
  
  
• как находить первые кратные числа
  
  
• почему сложение и вычитание сохраняют кратность
  
  
• почему произведение кратных остается кратным
  
  
• почему деление не сохраняет кратность
  
  
• типичный экзаменационный прием с использованием разностей кратных
  
  

Эти идеи регулярно используются в задачах GMAT и GRE и будут активно применяться в следующих темах Quant-раздела. Например, в простых числах, следующей главе этого раздела.