Биномиальная ситуация

Эта тема является частью раздела о вероятностях в Quant GMAT Focus.

Мы уже разобрали два ключевых правила: AND и OR. Теперь поговорим о ещё одной важной конструкции — биномиальной ситуации.

Сразу важный комментарий про экзамен: задачи этого типа редко встречаются на GMAT/GRE и обычно появляются только как очень сложные.
Если ваша цель — максимальный балл и вы хотите уметь решать почти любые задачи Quant, этот материал вам нужен.
Если вы нацелены на «уверенную базу» и понимаете, что самые трудные задачи будете пропускать, то AND/OR — обязательно, а биномиальные задачи можно знать на уровне общего понимания.

Что такое биномиальная ситуация

Биномиальная ситуация — это когда мы выполняем одно и то же испытание много раз.

Примеры испытаний:

• подбрасывание монеты,

   

• бросок игральной кости.

   

Ключевые признаки биномиальной ситуации:

1) Испытания независимы

Это типично для монет и костей. Важно: с точки зрения вероятности не имеет значения, делаете ли вы:

• один и тот же эксперимент много раз подряд (одну кость бросили 5 раз),

   

• или делаете сразу много параллельных испытаний (5 костей бросили одновременно).

   

Вероятностная структура одинаковая.

2) Вероятность «успеха» в одном испытании фиксирована

Мы заранее определяем, что считать «успехом»:

• «орёл» — успех (для монеты),

   

• «выпало 5» — успех (для кости).

   

Тогда:

• p = вероятность успеха в одном испытании.

   

3) Число испытаний заранее задано

Например:

• 10 монет подбрасывают,

   

• 7 костей бросают.

   

То есть n фиксировано.

4) Вопрос всегда про «ровно r успехов из n испытаний»

Типовые формулировки:

• «подбросили монету 10 раз. Какова вероятность получить ровно 5 орлов?»

   

• «бросили 7 костей. Какова вероятность получить ровно 2 шестёрки?»

   

Пример 1: 3 честные монеты, ровно 2 орла

Условие:
Подбрасывают 3 честные монеты. Найти вероятность того, что выпадет ровно 2 орла.

Шаг 1. Вероятность одного конкретного шаблона

Например, HHT (орёл, орёл, решка):

P(HHT) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8

Шаг 2. Сколько таких шаблонов существует

Ровно 2 орла можно получить тремя взаимоисключающими способами:

• HHT

   

• HTH

   

• THH

   

Это 3 разных исхода, и каждый имеет вероятность 1/8.

Шаг 3. Складываем

P(ровно 2 орла) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8

Ответ: 3/8.

Пример 2: 10 костей, ровно 2 пятёрки

Условие:
Одновременно бросают 10 честных шестигранных костей. Найти вероятность того, что выпадет ровно 2 пятёрки.

Здесь:

• успех = «выпала 5»,

   

• p = 1/6,

   

• неуспех = «выпало не 5»,

   

• 1 − p = 5/6,

   

• n = 10,

   

• r = 2.

   

Шаг 1. Вероятность одного конкретного расположения успехов

Например: первые две кости — 5, остальные 8 — не 5.

P(конкретный шаблон) = (1/6) × (1/6) × (5/6)^8
То есть: (1/6)^2 × (5/6)^8

Шаг 2. Сколько способов разместить 2 успеха среди 10 испытаний

Это задача на сочетания:

число способов = 10C2

Итоговая запись

P(ровно 2 пятёрки) = 10C2 × (1/6)^2 × (5/6)^8

На экзамене часто и ожидается именно такая форма ответа (без вычисления огромных дробей), то есть важно правильно собрать выражение.

Общая биномиальная формула

Обозначения:

• p — вероятность успеха в одном испытании,

   

• n — число испытаний,

   

• r — число успехов.

   

Тогда вероятность ровно r успехов в n испытаниях:

P(ровно r успехов) = nCr × p^r × (1 − p)^(n − r)

Смысл каждого множителя:

1. p^r — успех произошёл r раз

    

2. (1 − p)^(n − r) — неуспех произошёл n − r раз

    

3. nCr — количество способов распределить r успехов по n испытаниям

    

Вместо того чтобы заучивать формулу «вслепую», намного надёжнее понимать логику:
мы считаем вероятность одного конкретного шаблона и умножаем на число шаблонов.

Выводы

• Биномиальная ситуация: n независимых испытаний с фиксированной вероятностью успеха p.

   

• Вопрос: вероятность ровно r успехов.

   

• Формула: nCr × p^r × (1 − p)^(n − r).

   

• На GMAT/GRE чаще всего нужно не вычислить число, а правильно распознать структуру и собрать выражение.

   

Далее рассмотрим сценарий как минимум.