Отношения и проценты

Эта тема является частью раздела проценты и отношения в Quant GMAT Focus.

Проценты и отношения передают один и тот же тип информации.
Они описывают доли внутри целого, но без дополнительной информации не говорят ничего об абсолютных величинах.

Проценты и отношения как эквивалентная информация

Рассмотрим компанию с двумя типами сотрудников: менеджеры и ассистенты.

Информация 1:
20% сотрудников — менеджеры.

Информация 2:
Отношение ассистентов к менеджерам равно 4:1.

На первый взгляд это разные утверждения, но на самом деле они эквивалентны.

Почему это одно и то же

Если 20% — менеджеры, то:

• 80% — ассистенты.
  
  

Отношение ассистентов к менеджерам:

• 80% к 20% = 80:20 = 4:1.
  
  

👉 Оба утверждения сообщают одну и ту же математическую информацию.

Что нельзя узнать из такой информации

Ни проценты, ни отношения не позволяют определить:

• сколько менеджеров;
  
  
• сколько ассистентов;
  
  
• сколько всего сотрудников.
  
  

Все эти данные — абсолютные величины, а у нас есть только относительная информация.

Два типа математической информации (ключевая идея)

Для задач GMAT, особенно Data Sufficiency, принципиально важно различать два типа информации.

1. Относительная (ratio information)

К ней относятся:

• отношения;
  
  
• дроби;
  
  
• проценты;
  
  
• «в два раза больше»;
  
  
• «одна треть от».
  
  

Эта информация описывает пропорции, но не масштаб.

2. Абсолютная (absolute information)

К ней относится всё, что позволяет найти конкретные количества:

• общее число объектов;
  
  
• разность между количествами;
  
  
• сумма;
  
  
• конкретное значение одной из групп;
  
  
• масштабный множитель.
  
  

Любая такая информация фиксирует масштаб.

Экзаменационный принцип GMAT

• Только относительная информация → нельзя найти абсолютные величины.
  
  
• Относительная + хотя бы одна абсолютная информация → можно найти всё.
  
  

Если все отношения известны, любой кусок абсолютной информации (сумма, разность, прирост и т.д.) достаточен, чтобы восстановить все количества.

Пример (Data Sufficiency)

Вопрос:
В компании X есть менеджеры и ассистенты.
Отношение менеджеров к ассистентам равно 1:3.
Сколько менеджеров в компании?

Утверждение 1

Если количество менеджеров разделить на 3 (число ассистентов не меняется), то менеджеры будут составлять 10% сотрудников.

Анализ:
Это чисто относительная информация:

• проценты;
  
  
• соотношения;
  
  
• никаких конкретных чисел.
  
  

Фактически, это просто другая форма той же самой пропорции.

Вывод:
Недостаточно.

Утверждение 2

Если число ассистентов увеличить на 150, при неизменном числе менеджеров, то менеджеры будут составлять 20% сотрудников.

Анализ:
Здесь появляется:

• абсолютная информация — увеличение на 150.
  
  

Теперь у нас есть:

• отношение в исходной ситуации;
  
  
• отношение в новой ситуации;
  
  
• конкретная разность (150).
  
  

Этого достаточно, чтобы восстановить все количества.

Вывод:
Достаточно.

Ответ

• Утверждение 1 — недостаточно
  
  
• Утверждение 2 — достаточно
  
  

Правильный ответ: B

Обратите внимание: не требуется выполнять вычисления.
Типов информации уже достаточно, чтобы сделать вывод.

Итоговые выводы

1. Проценты и отношения — это формы относительной информации.
   
   
2. Относительная информация никогда не определяет абсолютные величины.
   
   
3. Для нахождения абсолютных величин требуется:
   
   
   • относительная информация
     
     
   • плюс хотя бы один абсолютный факт.
     
     
4. В Data Sufficiency задачи часто решаются на уровне логики информации, без вычислений.
   
   

Понимание различия между относительной и абсолютной информацией — один из самых важных концептуальных навыков для уверенной работы с Quant-разделом GMAT.

На это мы закончили раздел посвященный процентам и отношениям. 

Далее мы приступим к изучению целочисленных свойств.