Обобщённое правило AND

Эта тема является частью раздела о вероятностях в Quant GMAT Focus.

Теперь мы готовы перейти к обобщённому правилу AND. До этого момента мы рассматривали упрощённое правило AND, которое применяется только для независимых событий. Напомним его логику и затем посмотрим, что делать, когда события не являются независимыми.

Напоминание: простое правило AND

Если события A и B независимы, то вероятность их одновременного наступления находится так:

P(A и B) = P(A) × P(B)

Это работает потому, что:

• событие A никак не влияет на событие B,

   

• событие B никак не влияет на событие A.

   

Что означает зависимость событий

Если события A и B не являются независимыми, это означает следующее:

• факт наступления одного события меняет вероятность наступления другого;

   

• знание того, что A произошло, даёт дополнительную информацию о вероятности B (или наоборот).

   

Именно в таких ситуациях простое умножение уже не работает напрямую.

Условная вероятность

Для работы с зависимыми событиями вводится понятие условной вероятности.

Обозначение

Условная вероятность записывается так:

P(A | B)

Читается это следующим образом:
«вероятность события A при условии, что событие B уже произошло».

Здесь:

• B — это условие,

   

• A — событие, вероятность которого мы хотим найти при этом условии.

   

Пример условной вероятности

Пусть:

• A — случайно выбранный человек является мужчиной,

   

• B — выбор производится из состава Сената США.

   

Без условия

Если выбирать человека случайно из всего населения, вероятность того, что это мужчина, будет близка к 0.5.

С условием

Если же известно, что человек выбран из Сената, ситуация меняется.

В текущем составе Сената:

• 80 мужчин,

   

• 20 женщин.

   

Следовательно:

P(A | B) = 0.8

Вероятность быть мужчиной при условии, что человек — сенатор, значительно выше, чем в общей популяции.

Почему события не являются независимыми

В этом примере:

• событие B (человек — сенатор),

   

• напрямую влияет на вероятность события A (человек — мужчина).

   

Это и есть ключевой признак зависимых событий:
условие меняет вероятность.

Обобщённое правило AND

Теперь, когда у нас есть понятие условной вероятности, можно сформулировать обобщённое правило AND.

P(A и B) = P(A | B) × P(B)

Или эквивалентно:

P(A и B) = P(B | A) × P(A)

Что важно понять концептуально

• Слово AND по-прежнему означает умножение — это важный ориентир.

   

• Меняется не операция, а то, что именно мы умножаем.

   

• Вместо двух «обычных» вероятностей мы используем:

   

  • одну обычную вероятность,

     

  • одну условную вероятность.

     

Связь с независимыми событиями

Если события A и B независимы, то:

P(A | B) = P(A)
P(B | A) = P(B)

В этом случае обобщённое правило автоматически сводится к простому:

P(A и B) = P(A) × P(B)

То есть простое правило AND — это частный случай обобщённого.

Выводы

• Независимость означает отсутствие влияния событий друг на друга.

   

• Если одно событие меняет вероятность другого, используется условная вероятность.

   

• Условная вероятность записывается как P(A | B).

   

• Обобщённое правило AND:

   

  • P(A и B) = P(A | B) × P(B),

     

  • или P(A и B) = P(B | A) × P(A).

     

• Слово AND в вероятности всегда означает умножение, но важно понимать, что именно умножается.

   

Формулы могут выглядеть абстрактно, но в следующем уроке мы разберём конкретные экзаменационные примеры и увидим, как обобщённое правило AND применяется на практике в задачах GMAT и GRE Quant. Рассмотрим примеры применения обобщенного правила AND.