Свойства дробей и быстрые правила сравнения

В этом разделе мы разберём ключевые свойства дробей, которые регулярно используются в заданиях Quantitative Reasoning на экзаменах GMAT и GRE. Часть материала покажется знакомой, однако по мере продвижения мы будем опираться на эти идеи для более сложных задач, поэтому важно понимать их не формально, а на уровне смысла.

1. Дроби со знаменателем 1

Деление на 1 не изменяет значение числа:

7/1 = 7

135/1 = 135

 

В общем виде это можно записать так:

n / 1 = n

 

Это свойство особенно полезно, когда требуется представить целое число в виде дроби. Например:

4 = 4/1

 

Любое целое число можно записать в виде дроби, поместив его в числитель и поставив 1 в знаменатель. Этот приём часто используется при выполнении операций с дробями.

2. Дроби с нулём

При работе с дробями необходимо строго соблюдать правила, связанные с нулём.

Ноль в знаменателе

Деление на ноль запрещено. Дробь со знаменателем 0 не определена и не имеет математического смысла.

10/0 — не определено

0/0 — не определено

 

Такие выражения являются математически некорректными и не могут использоваться в вычислениях.

Ноль в числителе

Ноль в числителе допустим, если знаменатель не равен нулю:

0/10 = 0

 

В общем случае ноль, делённый на любое ненулевое число, равен нулю.

3. Дроби вида n/n

Любое ненулевое число, делённое на само себя, равно 1:

n / n = 1   (при n ≠ 0)

 

Это справедливо для любых чисел:

7/7 = 1

-5/-5 = 1

0.3/0.3 = 1

sqrt(3)/sqrt(3) = 1

 

Это свойство особенно важно, потому что позволяет умножать выражения на дробь вида n/n, не изменяя их значения. По сути, мы умножаем на 1, а умножение на 1 никогда не меняет результат. Такой приём часто применяется для упрощения выражений.

4. Обратные дроби (Reciprocals)

Обратной дробью к a/b является дробь b/a.

Примеры:

обратная к 3/5 — это 5/3

обратная к -7/2 — это -2/7

обратная к 1/6 — это 6/1 = 6

 

Дробь и её обратная всегда дают произведение, равное 1:

(4/17) * (17/4) = 1

 

Ещё одно важное правило:

1 / (a/b) = b/a

 

Например:

1 / (3/7) = 7/3

 

Это свойство напрямую приводит к правилу деления дробей, которое будет подробно разобрано в следующем разделе.

5. Сравнение дробей с одинаковым знаменателем

Если две дроби имеют одинаковый знаменатель, то большей является дробь с большим числителем:

5/9 > 3/9

 

Это самый простой случай сравнения дробей.

6. Сравнение дробей с одинаковым числителем

Если числители одинаковы, то большей будет дробь с меньшим знаменателем:

3/7 > 3/10

 

Интуитивно это означает, что деление на большее число даёт меньший результат.

7. Изменение числителя и знаменателя

Увеличение числителя и уменьшение знаменателя

Если числитель увеличивается, а знаменатель уменьшается, дробь однозначно увеличивается:

3/8 < 4/7

 

Оба изменения работают в одном направлении и усиливают эффект.

Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число

Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое число, получится эквивалентная дробь:

3/7 = 36/84

 

Такие дроби имеют одинаковое числовое значение и соответствуют одной и той же точке на числовой прямой.

Прибавление одинакового числа к числителю и знаменателю

Если к числителю и знаменателю прибавить одно и то же число, дробь приближается к 1:

• если дробь меньше 1, она увеличивается;
  
  
• если дробь больше 1, она уменьшается.
  
  

Пример (дробь меньше 1):

2/5 < 8/11

 

Пример (дробь больше 1):

7/4 > 8/5

 

Этот эффект можно представить как «притяжение» всех дробей к числу 1.

Прибавление разных чисел к числителю и знаменателю

Если к числителю прибавить p, а к знаменателю прибавить q, то новая дробь будет ближе к p/q, чем исходная.

Общий вид:

a/b → (a + p) / (b + q)

 

• если a/b < p/q, дробь увеличивается;
  
  
• если a/b > p/q, дробь уменьшается.
  
  

Примеры:

1/8 < 3/13

3/4 > 5/9

 

Этот приём очень полезен для сравнения дробей без вычисления точных десятичных значений.

Итоги

В этом разделе мы разобрали ключевые свойства дробей:

• любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1;
  
  
• деление на ноль недопустимо, ноль в числителе допустим;
  
  
• любая дробь вида n/n равна 1;
  
  
• обратная дробь получается перестановкой числителя и знаменателя;
  
  
• при одинаковом знаменателе большая дробь имеет больший числитель;
  
  
• при одинаковом числителе большая дробь имеет меньший знаменатель;
  
  
• добавление чисел к числителю и знаменателю позволяет эффективно сравнивать дроби.
  
  

Эти идеи являются фундаментом для всех последующих тем, связанных с дробями, и регулярно используются в задачах GMAT и GRE.