Необычные (пользовательские) операторы

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

Следующая тема продвинутой алгебры — необычные операторы. Это тип задач, который GMAT особенно любит, потому что он проверяет не знание формул, а умение спокойно читать определение и строго ему следовать.

Что такое «необычный оператор»

Представьте выражение вида:

• 3 ★ 4
  
  

Очевидно, без дополнительной информации невозможно сказать, чему это равно. Такой вопрос был бы некорректным, если бы экзамен не объяснил, что означает символ ★.

Именно поэтому:

GMAT никогда не использует новый символ без чёткого определения правила.

Как GMAT вводит необычный оператор

Экзамен всегда делает следующее:

1. Вводит новый символ
   
   
2. Даёт точное правило, как с ним работать
   
   
3. Просит применить это правило
   
   

Пример

Для любых чисел x и y определим:

• x ★ y = x^2 · y
  
  

Теперь вопрос:

• чему равно 3 ★ 4?
  
  

Решение

Следуем правилу:

• 3^2 · 4 = 9 · 4 = 36
  
  

Ответ

• 3 ★ 4 = 36
  
  

Это полностью корректный и честный экзаменационный вопрос.

Важный психологический момент

Такие задачи часто вызывают панику, потому что:

• символ выглядит незнакомо
  
  
• создаётся ощущение, что «я это должен был знать раньше»
  
  

Это ошибка мышления.

Ключевая идея:

Этот оператор новый для всех, не только для вас.

Никто из сдающих экзамен никогда раньше не видел этот символ в таком значении. Все начинают с одинаковых условий.

Пример 1. Оператор с дробью

Для положительных чисел a и b определим:

• a → b = a / (a + b)
  
  

Найти:

• p → p
  
  

Решение

Подставляем:

• p / (p + p) = p / (2p)
  
  

Сокращаем:

• 1/2
  
  

Ответ

• p → p = 1/2
  
  

Пример 2. Составное выражение с оператором

Для положительных чисел p и q определим:

• p φ q = p + 1/q
  
  

Найти:

• (1 φ 2) φ 3
  
  

Шаг 1. Сначала скобки

Порядок действий требует сначала вычислить выражение в скобках.

• 1 φ 2 = 1 + 1/2 = 3/2
  
  

Шаг 2. Подставляем результат

Теперь выражение принимает вид:

• 3/2 φ 3
  
  

Применяем правило:

• 3/2 + 1/3
  
  

Призводим к общему знаменателю:

• 9/6 + 2/6 = 11/6
  
  

Ответ

• (1 φ 2) φ 3 = 11/6
  
  

Пример 3. Оператор с вложенными действиями

Определим новый оператор:

• a ♥ b = 2a^2 + b
  
  

Найти:

• 1 ♥ 2 ♥ 3
  
  

Шаг 1. Работаем со скобками

Сначала вычисляем:

• 1 ♥ 2
  
  

По правилу:

• 2 · 1^2 + 2 = 2 + 2 = 4
  
  

Шаг 2. Подставляем результат

Теперь считаем:

• 4 ♥ 3
  
  

По правилу:

• 2 · 4^2 + 3 = 2 · 16 + 3 = 35
  
  

Ответ

• 1 ♥ 2 ♥ 3 = 35
  
  

Что на самом деле проверяет GMAT

В этих задачах нет сложной математики. Используются только:

• возведение в квадрат
  
  
• сложение
  
  
• умножение
  
  
• дроби
  
  
• порядок действий
  
  

Экзамен проверяет:

• умение читать определение
  
  
• умение следовать правилу буквально
  
  
• отсутствие паники при незнакомых символах
  
  

Экзаменационные правила (обязательно запомнить)

1. Необычный оператор всегда будет определён
   
   
2. Символ новый для всех, не только для вас
   
   
3. Просто строго следуйте заданному правилу
   
   
4. Сначала вычисляйте выражения в скобках
   
   
5. После вычисления можно заменять скобки их числовым значением
   
   
6. Никаких скрытых свойств у оператора нет — только то, что написано
   
   

Итог

• «Странные» операторы — это не ловушка, а проверка дисциплины мышления
  
  
• Паника — главная ошибка в таких задачах
  
  
• Если спокойно применять правило шаг за шагом, задачи решаются быстро и надёжно
  
  
• GMAT активно использует этот формат в сложных вопросах Quant
  
  

Этот тип задач — чистый тест на аккуратность и концентрацию, а не на запоминание формул.

Далее мы переходим к главам о неравенствах: основы и дополнительные свойства.