Дополнительно о среднем арифметическом и медиане

Эта тема является частью раздела о статистике в Quant GMAT Focus.

В предыдущем разделе мы отметили важный факт:
изменение наибольшего или наименьшего значения в списке не влияет на медиану, но влияет на среднее арифметическое.

Числа, которые находятся далеко от центра распределения, называются выбросами (outliers).

• Среднее арифметическое сильно зависит от выбросов

   

• Медиана полностью от них независима

   

Это различие принципиально важно для задач GMAT и GRE.

Когда среднее равно медиане

1. Равномерно распределённые списки

Если числа в списке расположены с равным шагом, то:

• среднее = медиана

   

Примеры:

• последовательные целые числа

   

• последовательные кратные одного и того же числа

   

Например, для такого списка среднее и медиана равны 11.

2. Симметричное распределение

Среднее и медиана также равны, если список полностью симметричен относительно центрального значения.

Рассмотрим упорядоченный список, в котором:

• медиана равна 25

   

• числа по обе стороны от 25 находятся на одинаковом расстоянии

   

Примеры симметричных пар:

• 23 и 27 — на расстоянии 2 от 25

   

• 13 и 37 — на расстоянии 12

   

• 8 и 42 — на расстоянии 17

   

• 4 и 46 — на расстоянии 21

   

Обрати внимание:

• 13 + 37 = 50

   

• 8 + 42 = 50

   

• 4 + 46 = 50

   

Все пары дают сумму, равную 2 × 25.
Если изобразить эти числа на числовой прямой, получится идеально симметричная картина относительно 25.

Вывод:
Если распределение симметрично, то
среднее = медиана = 25.

Когда среднее и медиана различаются

Если список асимметричен, среднее и медиана, как правило, не совпадают.

Особенно это заметно, когда:

• есть один или несколько сильных выбросов в одну сторону

   

В таких ситуациях:

• медиана остаётся на месте

   

• среднее «тянется» в сторону выбросов

   

Можно представить это так: медиана неподвижна, а среднее «следует» за крайними значениями.

Пример

В симметричном списке:

• среднее = медиана = 4

   

Если одно из крайних значений сделать значительно больше:

• медиана останется равной 4

   

• среднее станет значительно больше 4

   

Как сравнивать среднее и медиану без вычислений

Это очень важный экзаменационный навык.

Если в задаче требуется сравнить среднее и медиану, часто не нужно считать среднее.

Достаточно определить:

• в какую сторону направлены наиболее выраженные выбросы

   

Ключевое правило

• Высокие выбросы → среднее больше медианы

   

• Низкие выбросы → среднее меньше медианы

   

Среднее всегда «следует» за выбросами.

Пример экзаменационного типа

В классе из более чем 40 учеников:

• среднее = медиана = мода = 81

   

Два отсутствовавших ученика позже написали тест и получили:

• 83 и 47

   

Всего тест написали 42 ученика.

Вопрос: каковы новые среднее и медиана?

Анализ медианы

Обрати внимание:

• 83 находится на 2 балла выше 81

   

• 47 находится на 34 балла ниже 81

   

Эти значения расположены по разные стороны от медианы.

Если к большому набору значений, сосредоточенных вокруг 81, добавить:

• одно значение выше медианы

   

• одно значение ниже медианы

   

то медиана не изменится.

Новая медиана = 81

Анализ среднего

До добавления новых учеников:

• среднее = 81

   

Теперь:

• добавлено одно значение чуть выше среднего (83)

   

• добавлено одно сильное нижнее значение (47), которое является выбросом

   

Этот выброс:

• тянет среднее вниз

   

• делает среднее меньше медианы

   

Новое среднее < 81, медиана остаётся 81.

Вывод по задаче

• медиана не меняется

   

• среднее уменьшается

   

Правильный вариант — тот, где медиана = 81, а среднее меньше 81.

Итоговые выводы

• Если числа равномерно распределены или список симметричен, то
  среднее = медиана

   

• Выбросы влияют на среднее, но не влияют на медиану

   

• Среднее всегда «движется» в сторону выбросов

   

• На GMAT и GRE часто можно определить, как изменилось среднее или медиана,
  без прямых вычислений, просто анализируя направление выбросов

   

Это один из ключевых концептуальных навыков в разделе Statistics.

Изучим далее взвешенные средние, в первой и второй частях.