Законы степеней — II

Эта тема является частью раздела о степенях и корнях в Quant GMAT Focus.

В этом модуле мы расширяем законы степеней и связываем их с одной из самых фундаментальных идей математики — распределительным законом.

Важно понимать не просто формулы, а где распределение допустимо, а где категорически запрещено. GMAT очень часто проверяет именно эти границы.

1. Распределительный закон: напоминание

Из арифметики:

Умножение распределяется по сложению и вычитанию:

p × (m ± n) = p×m ± p×n

Это один из ключевых законов математики.

Также важно:

• деление тоже распределяется по сложению и вычитанию
  
  
• но не наоборот
  
  

2. Как степени «распределяются»

Аналогия:

• умножение распределяется по сложению
  
  
• степени распределяются по умножению и делению
  
  

Закон распределения степени

Если внутри скобок произведение или дробь:

• (ab) в степени n = a в степени n × b в степени n
  
  
• (a/b) в степени n = a в степени n / b в степени n
  
  

Это всегда законно.

3. Числовой пример с разложением на простые множители

Рассмотрим:

• 18 в степени 8
  
  

Разложим 18:

• 18 = 2 × 3 в квадрате
  
  

Тогда:

• 18 в степени 8 = (2 × 3 в квадрате) в степени 8
  
  

Распределяем степень:

• = 2 в степени 8 × (3 в квадрате) в степени 8
  
  

Теперь применяем «степень степени»:

• (3 в квадрате) в степени 8 = 3 в степени 16
  
  

Итог:

• 18 в степени 8 = 2 в степени 8 × 3 в степени 16
  
  

Это показывает, как легко перейти от простого разложения числа к разложению его степени.

4. Типичная задача на упрощение

Рассмотрим выражение вида:

• (x в квадрате y в кубе) в степени 4 / (x в степени 5 y в степени -5)
  
  

Шаг 1. Распределяем степень в числителе

• (x в квадрате) в степени 4 = x в степени 8
  
  
• (y в кубе) в степени 4 = y в степени 12
  
  

Шаг 2. Делим степени одинаковых оснований

• x в степени 8 / x в степени 5 = x в степени 3
  
  
• y в степени 12 / y в степени -5 = y в степени (12 − (−5)) = y в степени 17
  
  

Ответ:

• x в степени 3 y в степени 17
  
  

5. Критически важная ловушка: где распределять НЕЛЬЗЯ

Законно:

• умножение распределяется по сложению
  
  
• степень распределяется по умножению и делению
  
  

Незаконно:

• распределять степень по сложению или вычитанию
  
  

То есть:

(m ± n) в степени p
НЕ равно
m в степени p ± n в степени p

Это всегда ошибка.

6. Числовое доказательство ошибки

Рассмотрим:

• (8 − 5) в степени 3
  
  

Левая часть:

• 3 в степени 3 = 27
  
  

Ошибочная «распределённая» версия:

• 8 в степени 3 − 5 в степени 3
  
  
• 512 − 125 = 387
  
  

27 ≠ 387

Значит такое распределение недопустимо.

Эта ошибка особенно опасна, потому что визуально выглядит «похоже на правду».

7. Сумма и разность степеней: как с ними работать правильно

Хотя степени не распределяются по сложению и вычитанию, такие выражения можно упрощать через вынесение общего множителя.

Ключевая идея:

Любая более высокая степень делится на любую более низкую степень того же основания.

Следовательно, меньшая степень всегда является общим множителем.

Пример

17 в степени 30 + 17 в степени 20

Общий множитель:

• 17 в степени 20
  
  

Переписываем:

• 17 в степени 30 = 17 в степени 20 × 17 в степени 10
  
  
• 17 в степени 20 = 17 в степени 20 × 1
  
  

Выносим:

• 17 в степени 20 (17 в степени 10 + 1)
  
  

8. Пример с вычислением

Рассмотрим:

• 3 в степени 32 − 3 в степени 28
  
  

Общий множитель:

• 3 в степени 28
  
  

Переписываем:

• 3 в степени 32 = 3 в степени 28 × 3 в степени 4
  
  
• 3 в степени 28 = 3 в степени 28 × 1
  
  

Выносим:

• 3 в степени 28 (3 в степени 4 − 1)
  
  

Теперь считаем:

• 3 в степени 4 = 81
  
  
• 81 − 1 = 80
  
  

Ответ:

• 80 × 3 в степени 28
  
  

9. Равенство степеней с одинаковым основанием

На GMAT не требуется решать сложные уравнения с показателями.

Но важно знать:

Если:

• b в степени s = b в степени t
  
  
• и b > 0, b ≠ 1
  
  

то:

• s = t
  
  

Этот принцип станет ключевым позже, в теме уравнений со степенями.

Итоги модуля

1. Степени распределяются по умножению и делению
   (ab) в степени n = a в степени n × b в степени n
   
   
2. Степени НЕ распределяются по сложению и вычитанию
   (a ± b) в степени n — нельзя упрощать напрямую
   
   
3. Сумму или разность степеней можно упростить факторизацией
   выносим меньшую степень как общий множитель
   
   
4. При равных основаниях равенство степеней означает равенство показателей
   
   

Это один из самых «ловушечных» разделов Quant — здесь GMAT особенно часто проверяет не знание формул, а понимание границ применимости правил.

Дальше нас ждут задачи на последнюю цифру.