Операции с пропорциями

Эта тема является частью раздела Арифметика и дроби в Quant GMAT Focus.

Пропорции — один из самых мощных инструментов количественного раздела GMAT и GRE. Они постоянно используются в задачах на отношения, проценты, скорости, смеси, масштабирование. Однако большинство ошибок связано не с самими пропорциями, а с непониманием того, что в них можно сокращать, а что — нельзя.

Этот раздел — фундаментальный. Без чёткого понимания правил пропорций невозможно безопасно применять их в задачах повышенной сложности.

1. Что такое пропорция

Пропорция — это уравнение вида:

a/b = c/d

Здесь:

• a/b — первая дробь

   

• c/d — вторая дробь

   

📌 Это уравнение, а не умножение.

2. Ключевая идея: перекрёстное умножение (Cross Multiplication)

Если дано:

a/b = c/d

мы можем избавиться от дробей, выполнив перекрёстное умножение:

a * d = b * c

Это всегда законная операция.

Пример: решение пропорции

x/5 = 12/15

Перекрёстно умножаем:

15x = 5 * 12

15x = 60

x = 4

✔️ Пропорция превращается в обычное алгебраическое уравнение
✔️ Это стандартный приём GMAT / GRE

3. Сокращение в пропорциях: что МОЖНО делать

Одна из самых частых ловушек экзамена — неправильное сокращение. Разберём это строго.

3.1 Вертикальное сокращение (разрешено)

Можно сокращать числитель и знаменатель одной и той же дроби.

(a*k)/(b*k) = a/b

То же самое для правой части:

(c*m)/(d*m) = c/d

Это всегда корректно.

3.2 Горизонтальное сокращение числителей (разрешено)

Если оба числителя имеют общий множитель, его можно сократить:

(a*k)/b = (c*k)/d

→ a/b = c/d

Фактически мы делим обе стороны уравнения на одно и то же число.

3.3 Горизонтальное сокращение знаменателей (разрешено)

Если оба знаменателя имеют общий множитель:

a/(b*k) = c/(d*k)

→ a/b = c/d

Тоже полностью корректно.

✅ Итого: что МОЖНО сокращать в пропорции

В пропорции разрешено:

• вертикально (внутри одной дроби)

   

• горизонтально:

   

  • оба числителя

     

  • оба знаменателя

     

4. Что НЕЛЬЗЯ делать: диагональное сокращение ❌

Самая опасная ошибка

В пропорции ЗАПРЕЩЕНО сокращать по диагонали:

a/b = c/d

❌ НЕЛЬЗЯ:

• сокращать a и d

   

• сокращать b и c

   

Это математически неверно.

Почему это ошибка

Перекрёстное умножение говорит нам:

a * d = b * c

Если разрешено умножать, это не означает, что разрешено делить эти же элементы друг на друга.
Умножение и деление — разные операции и дают разные результаты.

5. Откуда берётся путаница

Путаница возникает потому, что:

При УМНОЖЕНИИ дробей диагональное сокращение разрешено ✅

(a/b) * (c/d)

Здесь можно сокращать:

• a и d

   

• b и c

   

Это законно, потому что это произведение.

Но в ПРОПОРЦИИ это строго запрещено ❌

a/b = c/d

Здесь:

• знак = (равенство), а не * (умножение)

   

• правила сокращения другие

   

📌 Ключевой экзаменационный навык — всегда видеть:

• это умножение дробей?

   

• или это уравнение дробей?

   

6. Пример с большими числами (тип GMAT)

44 / (5x) = 33 / (10)

Шаг 1. Горизонтальное сокращение числителей (разрешено)

Общий множитель 11:

4 / (5x) = 3 / (10)

Шаг 2. Горизонтальное сокращение знаменателей (разрешено)

Оба знаменателя делятся на 5:

4 / x = 3 / 2

❌ Типичная ошибка

Многие хотят сократить 4 и 2 по диагонали — ЭТО ЗАПРЕЩЕНО.

Шаг 3. Перекрёстное умножение (единственно верный шаг)

4 * 2 = 3 * x

8 = 3x

x = 8/3

7. Практическая стратегия GMAT / GRE

Перед тем как решать пропорцию, всегда задайте себе 3 вопроса:

1. Это пропорция ( = ) или умножение ( × )?

    

2. Что можно сократить легально?

    

3. После сокращений — только перекрёстное умножение

    

Формулы (идеально для Google Docs / WordPress)

Пропорция:

a/b = c/d

Перекрёстное умножение:

a * d = b * c

Разрешённое сокращение:

1) внутри одной дроби

2) оба числителя

3) оба знаменателя

Запрещено:

диагональное сокращение в пропорции

Краткое резюме

• Пропорция — это уравнение дробей, а не их произведение.

   

• Основной инструмент — перекрёстное умножение.

   

• В пропорциях разрешено:

   

  • вертикальное сокращение

     

  • горизонтальное сокращение числителей или знаменателей

     

• Диагональное сокращение в пропорциях запрещено и часто проверяется на экзамене.

   

• Ошибка возникает из-за путаницы с правилами умножения дробей

Рекомендуем вернуться и перечитать главу про смешанные числа или уже изучить последнюю главу задачи с дробями.