Сравнение дробей — I

Эта тема является частью раздела Арифметика и дроби в Quant GMAT Focus.

В задачах GMAT/GRE Quant часто нужно быстро сравнить две дроби: какая больше, какая меньше, иногда — упорядочить несколько дробей. Делать это через перевод в десятичные дроби почти всегда слишком долго и повышает риск ошибок. Ниже — самые надежные техники сравнения.

1) Одинаковый знаменатель: больше числитель → больше дробь

Если знаменатели одинаковые (и знаменатель положительный), то сравнение максимально простое:

Правило:

если a > b и c > 0, то a/c > b/c

Примеры:

6/13 > 4/13

3/50 > 0/50

8/3 < 14/3

Интуитивно: при одинаковом “размере кусочка” (знаменатель) больше “кусочков” (числитель) — больше значение.

2) Одинаковый числитель: больше знаменатель → меньше дробь

Этот момент иногда кажется менее очевидным, но он критически важен.

Правило (для положительных чисел):

если p > q и s > 0, то s/p < s/q

То есть больший знаменатель делает дробь меньше.

Примеры:

2/5 > 2/7

3/11 < 3/10

7/24 > 7/36

Интуиция через “деление” или “пироги”:
Если у вас 3 пирога и вы делите их на 10 людей, каждый получит 3/10 пирога.
Если тех же 3 пирога делить на 11 людей — каждый получит меньше (3/11).
Поэтому:

3/10 > 3/11

3) Числитель ↑ и знаменатель ↓ → дробь точно больше

Если одна дробь имеет больший числитель и одновременно меньший знаменатель, она однозначно больше.

Пример:

4/7 > 3/8

Это “двойной эффект”: и числитель помогает, и знаменатель помогает.

4) Эквивалентные дроби: умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число

Если умножить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число, значение дроби не меняется.

Правило:

(a/b) = (a*k)/(b*k), если k ≠ 0

Пример:

3/7 = 36/84   (умножили числитель и знаменатель на 12)

Почему это работает: мы фактически умножили дробь на k/k, а

k/k = 1

5) Перекрёстное умножение (cross-multiplication)

5.1) Для пропорций (равенств дробей)

Если дано:

a/b = c/d

то можно “убрать дроби” перекрёстным умножением:

a*d = b*c

Это базовая техника для пропорций (тему пропорций мы разберём отдельно), но нам она особенно полезна для сравнения.

5.2) Для сравнения дробей

Чтобы сравнить:

a/b ? c/d

(где знаменатели положительные), сравниваем произведения:

a*d ? c*b

Пример 1:
Сравнить:

7/11 ? 5/8

Перекрёстно умножаем:

7*8 = 56

5*11 = 55

Так как:

56 > 55

то:

7/11 > 5/8

Пример 2:
Сравнить:

9/20 ? 4/9

Перекрёстно:

9*9 = 81

4*20 = 80

Так как:

81 > 80

то:

9/20 > 4/9

Важно (на GMAT/GRE):
Инеравенство меняет знак, если умножать/делить на отрицательное. Здесь мы предполагаем, что знаменатели положительные, поэтому знак не “переворачивается”.

6) Трюк “приблизиться к простой дроби” (number sense)

Иногда дроби выглядят “страшно”, но их можно сравнить через близость к простой дроби.

Пример:

83/240

Очень близко к:

80/240 = 1/3

Поскольку 83 больше 80, значит:

83/240 немного больше 1/3

Ещё пример:

199/601

Похоже на:

200/600 = 1/3

Но здесь 199 меньше 200, а 601 больше 600 — значит дробь будет чуть меньше 1/3:

199/601 немного меньше 1/3

Следовательно:

83/240 > 199/601

Эта техника очень быстрая и часто экономит время на тесте.

7) Разбор типовой задачи: упорядочить 3 дроби

Нужно упорядочить от меньшей к большей:

31/50, 59/100, 299/500

Заметим, что все три близки к:

3/5

Потому что:

3/5 = 30/50 = 60/100 = 300/500

Сравним каждую с 3/5:

• 31/50 больше 30/50, значит:

   

31/50 > 3/5

• 59/100 меньше 60/100, значит:

   

59/100 < 3/5

• 299/500 меньше 300/500, значит:

   

299/500 < 3/5

Отсюда сразу видно: 31/50 — самая большая, потому что это единственная дробь выше 3/5.

Теперь сравним оставшиеся две:

Запишем как “чуть меньше 3/5”:

59/100 = 60/100 — 1/100 = 3/5 — 1/100

299/500 = 300/500 — 1/500 = 3/5 — 1/500

Сравниваем вычеты:

1/100 и 1/500

Поскольку:

1/100 > 1/500

то вычитание 1/100 “опускает” дробь сильнее, значит:

3/5 — 1/100 < 3/5 — 1/500

то есть:

59/100 < 299/500

Итоговый порядок (от меньшей к большей):

59/100 < 299/500 < 31/50

Формулы и правила (вставка “как есть”)

Ниже — набор ключевых правил из главы в виде коротких “формул”, которые удобно вставлять в Google Docs и показывать ученикам.

1) Если c > 0 и a > b, то a/c > b/c

2) Если s > 0 и p > q, то s/p < s/q

3) Эквивалентные дроби:

   (a/b) = (a*k)/(b*k), если k ≠ 0

4) Перекрёстное умножение (пропорция):

   если a/b = c/d, то a*d = b*c

5) Сравнение дробей (при b > 0 и d > 0):

   a/b ? c/d  ⇔  a*d ? c*b

Короткое резюме

• Одинаковый знаменатель: больше числитель → больше дробь.

   

• Одинаковый числитель: больше знаменатель → меньше дробь.

   

• Числитель ↑ и знаменатель ↓ → дробь точно больше.

   

• Эквивалентные дроби получаются умножением числителя и знаменателя на одно и то же число.

   

• Перекрёстное умножение — быстрый способ сравнить дроби без десятичных.

   

• Number sense: иногда проще сравнить дроби через близость к “дружелюбной” дроби вроде 1/2, 1/3, 3/5 и т.д.

Далее стоит изучить подробнее сравнение дробей и операции с дробями.