Последовательные целые числа

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

Последовательные целые числа — это числа, идущие подряд, с разницей 1:

• 1, 2, 3
  
  
• 20, 21, 22, 23
  
  
• −1, 0, 1
  
  

Важно:

• набор из трёх и более последовательных целых чисел может содержать одновременно отрицательные, ноль и положительные числа;
  
  
• всё зависит от того, включает ли набор число 0.
  
  

Базовые свойства последовательных целых чисел

Свойство 1. Делимость на n

В любом наборе из n последовательных целых чисел обязательно есть число, делящееся на n.

Интуиция:

• кратные числа n появляются каждые n шагов;
  
  
• если взять любые n подряд идущих целых чисел, одно из них обязательно «попадёт» на кратное n.
  
  

Пример:

• в любых 7 последовательных числах обязательно есть число, делящееся на 7;
  
  
• в наборе из 7 чисел таким числом будет ровно одно.
  
  

Свойство 2. Чётность

• В наборе из трёх последовательных целых чисел:
  
  
  • либо 2 чётных и 1 нечётное,
    
    
  • либо 2 нечётных и 1 чётное.
    
    
• В наборе из четырёх последовательных целых чисел:
  
  
  • обязательно 2 чётных и 2 нечётных.
    
    

Следствие:

• в любом наборе из 4 последовательных целых чисел есть число, делящееся на 4.
  
  

Свойство 3. Сумма при нечётном количестве

Если количество чисел нечётное, то:

• сумма всех чисел делится на количество чисел в наборе;
  
  
• среднее значение (mean) равно среднему элементу набора;
  
  
• средний элемент — это медиана, и она входит в набор.
  
  

Пример:

• сумма 7 последовательных целых чисел делится на 7;
  
  
• результат равен среднему числу набора.
  
  

Алгебраическое задание последовательных целых чисел

На GMAT почти всегда используются алгебраические представления, а не конкретные числа.

Типовые формы

Если n — целое число, то все следующие наборы являются наборами последовательных целых чисел:

• n, n + 1, n + 2, n + 3
  
  
• n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2
  
  
• n + 15, n + 16, n + 17
  
  

Ключевой критерий:

разница между соседними членами равна 1.

Практика 1: произведение последовательных целых чисел

Условие:
n — целое число, n > 50.
Рассматривается произведение:

n(n + 1)(n − 1)(n − 2)

 

Анализ

Эти множители образуют четыре последовательных целых числа:

• n − 2, n − 1, n, n + 1
  
  

Что мы знаем про 4 последовательных целых числа:

• 2 из них чётные;
  
  
• одно из них делится на 4.
  
  

Следствия:

• произведение кратно 4 × 2 = 8 → делится на 8;
  
  
• в наборе также есть число, делящееся на 3;
  
  
• значит, произведение делится на 4 × 3 = 12.
  
  

А вот делимость на 18 не гарантирована:

• 18 = 2 × 3 × 3;
  
  
• в наборе может быть только одно кратное 3;
  
  
• наличие двух кратных 3 — случайно, но не обязательно.
  
  

Вывод: гарантированная делимость — на 8 и на 12.

Последовательные кратные числа

Иногда речь идёт не о последовательных целых числах, а о последовательных кратных одного числа.

Примеры:

• 25, 30, 35, 40 — последовательные кратные 5
  
  
• 35, 42, 49 — последовательные кратные 7
  
  
• 48, 51, 54 — последовательные кратные 3
  
  
• 65, 78, 91, 104 — последовательные кратные 13
  
  

Разность между соседними членами равна соответствующему делителю.

Практика 2: последовательные кратные

Задача:
135 — наименьшее число в наборе из 41 последовательного кратного 5.
Найдите разницу между наименьшим и наибольшим числами набора.

Шаг 1. Структура набора

• первый член: 135
  
  
• разность: 5
  
  

Общий член:

aₙ = 135 + 5(n − 1)

 

Шаг 2. Находим последний член

Для 41-го элемента:

• a₄₁ = 135 + 5 × 40
  
  

Шаг 3. Разница между наибольшим и наименьшим

(135 + 5 × 40) − 135 = 5 × 40 = 200

 

Ответ: 200.

Итог

• Последовательные целые числа идут с шагом 1.
  
  
• В любом наборе из n последовательных целых чисел есть число, делящееся на n.
  
  
• В 4 последовательных целых числах:
  
  
  • 2 чётных,
    
    
  • 1 делится на 4.
    
    
• Если количество чисел нечётное, их сумма делится на размер набора.
  
  
• Алгебраические формы вида n − 2, n − 1, n, n + 1 — стандарт на GMAT.
  
  
• Последовательные кратные — это арифметическая последовательность с шагом, равным делителю.
  
  

Эти факты — базовый инструментарий GMAT Quant для задач на делимость, произведения и диапазоны.

Следующим мы изучим метод обратной подстановки.