Делимость

Эта тема является частью раздела целочисленных свойств в Quant GMAT Focus.

Свойства целых чисел — одна из любимых тем экзамена GMAT и GRE. В этом модуле мы разбираем ключевые понятия, связанные с целыми числами, которые регулярно встречаются в заданиях Quant.

Что такое целые числа

Целые числа (integers) — это все числа без дробной части. К ним относятся:

• положительные целые числа: 1, 2, 3, 4, …
• число 0
• отрицательные целые числа: -1, -2, -3, …

Экзамен ожидает, что вы точно понимаете, что такое целое число. При этом важно отметить:
в большинстве задач этого модуля нас будут интересовать положительные целые числа, то есть обычные счетные числа: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее.

Три ключевых термина: factor, divisor, divisible

В заданиях GMAT и GRE постоянно используются три взаимосвязанных понятия:

• factor (множитель, делитель)
• divisor (делитель)
• divisible (делится)

Важно понимать: в математическом смысле они означают одно и то же, просто используются в разных формулировках.

Factor (множитель)

Пусть A, B и C — положительные целые числа.

Если выполняется равенство:
A × B = C

то A и B являются факторами (множителями) числа C.

Иначе говоря:

• A — фактор C, если существует целое число B, такое что A × B = C.

Примеры:

• 3 — фактор 6
• 25 — фактор 100

Два важных свойства:

1. Число 1 является фактором любого положительного целого числа.
2. Любое положительное целое число является фактором самого себя.

Следовательно, каждое положительное целое число больше 1 имеет как минимум два фактора:
1 и само себя.

Например, у числа 84:

• 1 — фактор 84
• 84 — фактор 84
  (даже не зная остальных факторов, это всегда верно)

Divisor (делитель) и Divisible (делится)

Если выполняется деление:
C ÷ A = B

и результат B — целое число, то:

• A — делитель (divisor) числа C
• C делится (divisible) на A

Ключевая идея

Factor и divisor — это одно и то же.

• Слово factor чаще используют в контексте умножения
• Слово divisor — в контексте деления

Но математически разницы нет.

Эквивалентные формулировки:

• 8 — фактор 24
• 8 — делитель 24
• 24 делится на 8

Все три утверждения означают одно и то же.

Когда число не делится

Рассмотрим пример:

• 8 не является фактором 12
• 8 не является делителем 12
• 12 не делится на 8

Почему?
Потому что результат деления 12 ÷ 8 не является целым числом.

Деление «не нацело»: два корректных подхода

Если одно целое число не делится на другое нацело, существует два корректных математических способа представить результат.

Способ 1: частное и остаток

12 ÷ 8 = 1 с остатком 4

В этом случае:

• частное — целое число
• остаток — тоже целое число

Способ 2: дробь или десятичное число

12 ÷ 8 = 3/2
Это можно записать:

• как смешанное число: 1 1/2
• как десятичное число: 1.5

Оба варианта абсолютно корректны.

На экзамене не нужно угадывать, какой способ использовать.
Формулировка вопроса всегда ясно указывает, идет ли речь:

• об остатках
• или о дробях и десятичных значениях

Позже в этом модуле мы будем детально разбирать остатки. Сейчас это только вводное знакомство.

Как найти все положительные факторы числа

Экзамен может спросить:

• сколько факторов у числа
• какие факторы у числа
• использовать факторы в дальнейшем (например, при разложении на множители)

Пример: найти все положительные факторы числа 36

Самый надежный способ — перечислить пары множителей, произведение которых равно 36.

Шаги:

1. 1 × 36
2. 2 × 18
3. 3 × 12
4. 4 × 9
5. 5 — не делит 36, пропускаем
6. 6 × 6 — на этом останавливаемся

Когда число умножается само на себя или мы начинаем «возвращаться» к уже найденным значениям, процесс завершен.

Полный список положительных факторов 36:

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Всего 9 положительных факторов.

Подсчет факторов: важное замечание

Для чисел меньше 100 можно спокойно:

• перечислять пары факторов вручную

Для больших чисел (например, 12 600) такой подход слишком медленный для экзамена.

Позже в этом модуле мы изучим быстрый и эффективный метод, который позволяет находить количество факторов за считанные секунды.

Отрицательные факторы (редко, но важно)

Технически:

• 4 и -4 являются факторами -12
• -12 делится и на 4, и на -4

У каждого положительного фактора существует соответствующий отрицательный.

Однако:

• отрицательные факторы не добавляют новой информации
• поэтому экзамен почти никогда не фокусируется на них

Тем не менее, в более сложных вопросах важно помнить, что делители могут быть отрицательными.

Summary

В этой главе мы разобрали:

• что такое целые числа и какие из них важны для GMAT / GRE
• понятия factor, divisor и divisible и их полную эквивалентность
• что делать, если деление не является целочисленным
• два способа представления результата деления
• метод нахождения всех положительных факторов через пары множителей
• почему для больших чисел нужен более быстрый метод
• редкий, но возможный случай отрицательных факторов

Изучите далее правила делимости, кратные и простые числа.