Примеры применения правила AND

В предыдущем уроке мы разобрали упрощённое правило AND: если события независимы, то AND означает умножение.
Теперь рассмотрим несколько типовых примеров и посмотрим, как это работает на практике.

Пример 1. Три подбрасывания монеты

Вопрос:
Какова вероятность при трёх подбрасываниях монеты получить орёл, орёл, орёл?

Анализ

• каждое подбрасывание монеты — независимое событие;
  
  
• результат одного броска никак не влияет на другой.
  
  

Вероятность орла при одном подбрасывании равна 1/2.

Решение

P(орёл, орёл, орёл) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8

Ответ

Вероятность получить три орла подряд равна 1/8.

Пример 2. «Змеиные глаза» при броске двух костей

Вопрос:
Какова вероятность выбросить «snake eyes», то есть получить единицу на каждой из двух шестигранных костей?

Анализ

• каждая кость работает независимо от другой;
  
  
• вероятность получить 1 на одной кости равна 1/6.
  
  

Решение

P(1 и 1) = 1/6 × 1/6 = 1/36

Ответ

Вероятность выбросить «snake eyes» равна 1/36.

Пример 3. Три пики подряд с возвращением

Условие:
Из полной колоды поочерёдно выбирают три карты с возвращением.
Какова вероятность того, что все три карты окажутся пиками?

Разбор условия «с возвращением»

• карту вытягивают,
  
  
• фиксируют результат,
  
  
• возвращают обратно в колоду,
  
  
• колоду перемешивают,
  
  
• следующий выбор снова происходит из полной колоды из 52 карт.
  
  

Таким образом, каждый выбор осуществляется в одинаковых условиях, а события являются независимыми.

Решение

В стандартной колоде:

• 4 масти,
  
  
• вероятность вытащить одну пику равна 1/4.
  
  

Так как выборы независимы:

P(пика, пика, пика) = 1/4 × 1/4 × 1/4 = 1/64

Ответ

Вероятность выбрать три пики подряд с возвращением равна 1/64.

Пример 4. Связь правил AND и OR

Теперь рассмотрим более абстрактный пример.

Условие:
События A и B независимы.
P(A) = 0.6
P(B) = 0.8

Вопрос:
Чему равна вероятность события A или B?

Ключевая идея

Важно заметить:

• независимые события не могут быть взаимоисключающими;
  
  
• если события были бы взаимоисключающими, то наступление одного исключало бы другое, а это уже влияние.
  
  

Значит, для события «A или B» нужно использовать общее правило OR.

Шаг 1. Находим P(A и B)

Так как события независимы, применяем правило AND:

P(A и B) = P(A) × P(B)
P(A и B) = 0.6 × 0.8 = 0.48

Шаг 2. Применяем общее правило OR

P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)

P(A или B) = 0.6 + 0.8 − 0.48

Шаг 3. Упрощаем

P(A или B) = 1.4 − 0.48 = 0.92

Ответ

Вероятность события A или B равна 0.92.

Экзаменационные выводы

• Для независимых событий AND означает умножение.
  
  
• Выбор с возвращением всегда приводит к независимым событиям.
  
  
• Независимость не означает взаимоисключение.
  
  
• Часто в одной задаче приходится использовать и правило AND, и правило OR.
  
  
• GMAT и GRE активно проверяют умение:
  
  
  • определить независимость,
    
    
  • выбрать правильное правило,
    
    
  • связать несколько правил в одном решении.
    
    

В следующем уроке мы перейдём к более общему правилу AND для зависимых событий и научимся работать с условными вероятностями.