Системы уравнений: метод исключения (elimination)

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

В предыдущем разделе мы разбирали метод подстановки. Мы отметили важное ограничение этого метода:

• Подстановка удобна, когда коэффициент при одной из переменных равен +1 или -1

   

• В общем случае коэффициенты произвольны, и подстановка приводит к дробям, которые делают вычисления громоздкими

   

Формально подстановку можно использовать всегда, но на экзамене GMAT это часто неоптимальная стратегия. Именно поэтому основной рабочий метод для систем уравнений — метод исключения.

Метод исключения: базовая идея

Ключевое наблюдение

В алгебре разрешено складывать и вычитать уравнения. Если при сложении коэффициенты одной из переменных взаимно уничтожаются, эта переменная исключается.

Цель метода:

• избавиться от одной переменной

   

• получить уравнение с одной неизвестной

   

• решить его стандартными методами

   

Простой пример

Рассмотрим систему:

• 7x + 3y = 5

   

• 2x — 3y = 13

   

Шаг 1. Складываем уравнения

Складываем левые и правые части:

(7x + 3y) + (2x — 3y) = 5 + 13

Получаем:

• 9x = 18

   

Шаг 2. Решаем

• x = 2

   

Шаг 3. Находим вторую переменную

Подставим x = 2 во второе уравнение:

• 2x — 3y = 13

   

• 4 — 3y = 13

   

• -3y = 9

   

• y = -3

   

Решение системы

x = 2
y = -3

Этот пример был особенно простым, потому что коэффициенты при y были равны по модулю и противоположны по знаку.

Общая стратегия метода исключения

В большинстве задач коэффициенты не будут сразу удобными. Тогда мы делаем следующее:

1. Выбираем переменную, которую хотим исключить

    

2. Умножаем одно или оба уравнения на числа так, чтобы коэффициенты при этой переменной стали равны по модулю и противоположны

    

3. Складываем уравнения

    

4. Решаем полученное уравнение с одной переменной

    

5. Подставляем и находим вторую переменную

    

Пример: тот же самый набор уравнений, что и в прошлом уроке

Система:

• x + 2y = 11

   

• 2x + y = 5

   

Вариант 1. Исключаем x

Умножим второе уравнение на -2:

• -2(2x + y = 5)

   

• -4x — 2y = -10

   

Теперь складываем с первым:

• (x + 2y) + (-4x — 2y) = 11 + (-10)

   

• -3x = 1

   

• x = -1/3

   

После этого можно подставить и найти y.

Вариант 2. Исключаем y

Умножим:

• первое уравнение на -2

   

• второе уравнение на +3

   

Получаем:

• -2x — 4y = -22

   

• 6x + 3y = 15

   

Складываем:

• 4x = -7

   

• x = -7/4

   

Затем находим y подстановкой.

Вывод: при методе исключения мы можем выбирать, какую переменную исключать.

Как выбрать переменную для исключения

Лучший выбор — та переменная, у которой:

• коэффициенты уже равны или противоположны

   

• или один коэффициент является кратным другого

   

Пример выбора оптимальной стратегии

Система:

• 5x + 2y = 40

   

• 5x — 4y = 40

   

Здесь коэффициенты при y: +2 и -4
Один является кратным другого → исключаем y

Шаги:

Умножаем первое уравнение на 2:

• 10x + 4y = 80

   

Складываем со вторым:

• 10x + 4y

   

• 5x — 4y

   

• 15x = 120

   

• x = 8

   

Подставляем в первое уравнение:

• 5(8) + 2y = 40

   

• 40 + 2y = 40

   

• 2y = 0

   

• y = 0

   

Решение

x = 8
y = 0

Пример, где подстановка неэффективна

Система:

• 8x + 5y = 1

   

• 9x + 2y = 4

   

Здесь подстановка приведет к дробям. Используем исключение.

Исключаем y

Умножаем:

• первое уравнение на 2 → 16x + 10y = 2

   

• второе уравнение на -5 → -45x — 10y = -20

   

Складываем:

• -29x = -18

   

• x = 18/29

   

Подставляем в первое:

• 8(18/29) + 5y = 1

   

• 144/29 + 5y = 1

   

• 5y = -115/29

   

• y = -23/29

   

Экзаменационно важный случай: значение выражения

Ключевое правило GMAT

Если в задаче просят найти значение выражения, не обязательно находить x и y по отдельности.

Пример

Система:

• 2x — y = 15

   

• 5x + 2y = 51

   

Найти: x + y

Наблюдение

Коэффициенты во втором уравнении на 3 больше, чем в первом:

• 5x против 2x

   

• +2y против -y

   

Вычитаем первое уравнение из второго:

• (5x + 2y) — (2x — y) = 51 — 15

   

• 3x + 3y = 36

   

Делим на 3:

• x + y = 12

   

Ответ

x + y = 12

Важно: решать отдельно x и y здесь было бы ошибкой с точки зрения стратегии.

Итоговые выводы

• Метод исключения — основной метод для систем уравнений на GMAT

   

• Он особенно эффективен, когда коэффициенты:

   

  • равны

     

  • противоположны

     

  • или кратны друг другу

     

• Всегда выбирайте переменную, которую проще исключить

   

• Если требуется значение выражения, ищите прямой путь, а не полное решение системы

   

• Метод исключения почти всегда быстрее и надежнее, чем подстановка

   

В следующем разделе мы продолжим разбор систем уравнений и экзаменационных стратегий их решения.