Неравенства: дополнительные свойства и стратегии

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

В этом уроке мы разберём несколько более тонких идей, связанных с неравенствами. Эти моменты часто используются в задачах GMAT как логические ловушки, поэтому важно понимать не только правила, но и когда их можно применять, а когда — нельзя.

1. Объединение неравенств (транзитивность)

Аналогия с равенствами

Если:

• a = b
  
  
• b = c
  
  

то мы можем заключить:

• a = c
  
  

Это называется транзитивным свойством равенства.

Транзитивность для неравенств

Аналогично:

• r < s
  
  
• s < t
  
  

Тогда:

• r < t
  
  

Мы можем также записать:

• r < s < t
  
  

Важное условие

Транзитивность работает только если общий член находится между двумя другими:

• меньше одного
  
  
• и больше другого
  
  

Когда вывод сделать нельзя

Если:

• c < f
  
  
• d < f
  
  

Мы знаем только, что оба меньше f,
но ничего не знаем о сравнении c и d между собой.

Пример:

• f = 100
  
  
• c = 20
  
  
• d = -50
  
  

Оба меньше 100, но это не говорит, какое из них больше.

2. Сложение неравенств

Разрешённый случай: одинаковое направление

Если:

• a > b
  
  
• c > d
  
  

то можно сложить:

• a + c > b + d
  
  

Пример

• 5 > 2
  
  
• 11 > 8
  
  

Складываем:

• 16 > 10
  
  

Это корректно.

Запрещённый случай: разные направления

Если направления разные, например:

• a > b
  
  
• c < d
  
  

Сложение не имеет общего правила.
Результат может быть:

• больше
  
  
• меньше
  
  
• равенство
  
  

То есть вывод непредсказуем.

3. Вычитание неравенств

Нельзя вычитать неравенства с одинаковым направлением

Если:

• a > b
  
  
• c > d
  
  

То сравнение:

• a — c и b — d
  
  

может дать любой знак.
Общего правила не существует.

Можно вычитать при противоположных направлениях

Если:

• a > b
  
  
• d < c
  
  

Тогда:

• a — d > b — c
  
  

Большое минус маленькое всегда больше, чем
маленькое минус большое.

Числовой пример

Пусть:

• a = 20
  
  
• b = 15
  
  
• c = 12
  
  
• d = 10
  
  

Проверка условий:

• 20 > 15
  
  
• 10 < 12
  
  

Вычитаем:

• a — d = 10
  
  
• b — c = 3
  
  

Получаем:

• 10 > 3
  
  

Важное наблюдение

Направление итогового неравенства совпадает с направлением первого, из которого вычитают.

4. Умножение и деление неравенств

Общего правила не существует

Нельзя надёжно умножать или делить два неравенства и делать вывод.

Даже если:

• a > b
  
  
• c > d
  
  

не гарантируется, что:

• ac > bd
  
  

Почему это не работает

Рассмотрим пример:

• -10 < 2
  
  
• -8 < 3
  
  

Оба неравенства верны.

Перемножаем «меньшие»:

• (-10)(-8) = 80
  
  

Перемножаем «большие»:

• 2 · 3 = 6
  
  

В итоге:

• 80 > 6
  
  

Мы получили результат, противоположный интуиции.

Вывод

Нет общих правил для умножения и деления неравенств
(если не заданы дополнительные ограничения на знаки).

5. Полезные абсолютные факты

Положительное всегда больше отрицательного

Любое положительное число больше любого отрицательного.

Это очевидно, но часто даёт короткий путь в задачах.

Добавление и вычитание

• x + (положительное число) > x
  
  
• x — (положительное число) < x
  
  

Примеры:

• x + 10 > x
  
  
• x + 2/5 > x
  
  
• x — 3 < x
  
  

6. Экзаменационный пример (типичная ловушка)

Вопрос: какие из выражений всегда больше x?

1. x + 2
   
   
2. 2x
   
   
3. x^2
   
   

Анализ

1) x + 2

Добавление положительного числа всегда увеличивает значение.

✔ всегда верно

2) 2x

Работает для положительных x,
но для отрицательных:

• x = -10 → 2x = -20
  
  
• -10 > -20
  
  

✘ не всегда верно

3) x^2

• для отрицательных чисел → положительное (больше)
  
  
• но:
  
  
  • x = 1 → x^2 = 1 (равно)
    
    
  • x = 0 → x^2 = 0 (равно)
    
    
  • x = 1/2 → x^2 = 1/4 < 1/2
    
    

✘ не всегда верно

Ответ

Единственное выражение, которое всегда больше x:

• x + 2
  
  

Итоговые правила (обязательно для GMAT)

1. Неравенства можно объединять транзитивно, если общий член между двумя другими
   
   
2. Можно:
   
   
   • складывать неравенства с одинаковым направлением
     
     
   • вычитать неравенства с противоположным направлением
     
     
3. Нельзя:
   
   
   • складывать неравенства с разными направлениями
     
     
   • вычитать неравенства с одинаковым направлением
     
     
   • умножать или делить неравенства без допущений
     
     
4. Любое положительное число больше любого отрицательного
   
   
5. Добавление положительного увеличивает число, вычитание положительного уменьшает
   
   

Этот материал завершает базовый блок по неравенствам и подготавливает к более сложным задачам Quant, где логика важнее вычислений. Рассмотрим это на примере неравенств с модулем.