Формула связи GCF и LCM (GMAT / GRE Quant)

Эта тема является частью раздела целочисленных свойств в Quant GMAT Focus.

Формула связи наибольшего общего делителя (GCF) и наименьшего общего кратного (LCM) — это очень мощный экзаменационный shortcut. В этой главе мы формализуем связь между GCF и LCM, о которой уже говорили ранее, и научимся использовать ее быстро и безопасно.

Разогревающий пример

Найдем GCF и LCM чисел 18 и 24.

Шаг 1. Разложение на простые множители

• 18 = 2 × 3 × 3
  
  
• 24 = 2 × 2 × 2 × 3
  
  

Шаг 2. Наибольший общий делитель

Общие простые множители:

• 2 × 3 = 6
  
  

Следовательно:

• GCF(18, 24) = 6
  
  

Шаг 3. Наименьшее общее кратное (логика)

Чтобы получить LCM, можно:

• взять все множители одного числа
  
  
• добавить недостающие множители второго числа
  
  

В данном случае:

• LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72
  
  

Ключевое наблюдение

Как только мы нашли GCF, у нас есть два эквивалентных пути:

• 24 × (18 ÷ GCF)
  
  
• 18 × (24 ÷ GCF)
  
  

В обоих случаях мы получим LCM.

Это позволяет объединить процесс в одну формулу.

Формула GCF–LCM

Для любых двух положительных целых чисел P и Q:

LCM = (P × Q) ÷ GCF

Это крайне полезная формула, но с ней связан очень опасный экзаменационный капкан.

Критически важное предупреждение

Никогда не выполняйте умножение P × Q первым.

Это самая распространенная и самая вредная ошибка:

• вы получаете большое число
  
  
• усложняете вычисления
  
  
• теряете время
  
  
• увеличиваете риск арифметической ошибки
  
  

Правильный подход

Всегда сначала сокращайте, потом умножайте.

GCF:

• гарантированно делит и P, и Q
  
  
• значит, сокращение всегда возможно
  
  

Экзаменационный пример (GMAT-style)

Найти LCM чисел 48 и 75.

Шаг 1. Найти GCF

• оба числа делятся на 3
  
  
• других общих делителей нет
  
  

GCF = 3

Шаг 2. Записываем формулу (без умножения!)

LCM = (48 × 75) ÷ 3

Шаг 3. Сокращаем ДО умножения

Сокращаем 75 ÷ 3 = 25

Получаем:

• 48 × 25
  
  

Шаг 4. Умное умножение

Используем перераспределение множителей:

• 48 ÷ 2 = 24, 25 × 2 = 50
  
  
• 24 ÷ 2 = 12, 50 × 2 = 100
  
  

Теперь:

• 12 × 100 = 1200
  
  

Ответ:

LCM(48, 75) = 1200

Без калькулятора. Без громоздких чисел. Без риска ошибки.

Почему формула работает (интуитивно)

• произведение P × Q содержит все простые множители обоих чисел
  
  
• GCF — это дублирующаяся часть
  
  
• деление на GCF удаляет лишнее дублирование
  
  

В результате остается именно тот набор множителей, который нужен для наименьшего общего кратного.

Когда эта формула особенно полезна

• при больших числах
  
  
• когда разложение на простые множители слишком долго
  
  
• в задачах на дроби (через LCD)
  
  
• в многошаговых word problems
  
  

GMAT очень любит ситуации, где эта формула резко упрощает вычисления.

Итоги

В этой главе мы зафиксировали:

1. Формулу связи GCF и LCM:
   LCM = (P × Q) ÷ GCF
   
   
2. Почему формула работает
   
   
3. Самую опасную ошибку — умножение до сокращения
   
   
4. Правильную экзаменационную стратегию:
   сначала сокращать, потом умножать
   
   
5. Экзаменационный пример с чистой арифметикой без калькулятора
   
   

Эта формула — один из самых сильных инструментов в разделе Integer Properties. При правильном использовании она дает огромное преимущество по времени и точности.

Далее изучим четные и нечетные целые числа.