Введение в алгебру

Мы начинаем раздел Algebra с базовых понятий и, в частности, с алгебраических выражений. Это фундамент, без которого невозможно уверенно решать задачи Quant на GMAT и GRE.

Что такое алгебра

В широком смысле слово алгебра имеет более общее математическое значение, но для наших целей достаточно следующего определения:

Алгебра — это раздел математики, в котором используются переменные.

Как только в задаче появляются буквы, представляющие числа, — мы имеем дело с алгеброй.

Переменные и их роль

Переменная — это буква, которая может представлять:

• либо одно конкретное неизвестное число;
  
  
• либо все числа (или почти все числа, за редкими исключениями).
  
  

Здесь важно различать два случая:

• Алгебраические выражения
  Переменная представляет все возможные значения.
  Цель — выявлять и использовать закономерности, верные для всех чисел.
  
  
• Алгебраические уравнения
  Переменная представляет одно или несколько неизвестных значений.
  Цель — найти эти конкретные значения.
  
  

В этом и следующих видео мы сначала работаем с выражениями, а не с уравнениями.

Основные термины (обязательны для GMAT)

Константа (constant)

Константа — это число или символ (например, π), значение которого не меняется.
Проще говоря, это обычное число.

Член (term)

Член — это произведение:

• констант,
  
  
• переменных,
  
  
• степеней переменных.
  
  

Примеры членов:

• 7
  
  
• x
  
  
• 4y
  
  
• 6y в квадрате
  
  
• x в пятой степени умножить на y в шестой степени умножить на z в седьмой степени
  
  

Один член может состоять из одного элемента или из произведения нескольких.

Коэффициент (coefficient)

Коэффициент — это числовой множитель при переменной или степени переменной.

Пример:

• в выражении 6y в квадрате коэффициент равен 6.
  
  

Важный тонкий момент:

• если коэффициент не записан, он равен 1.
  
  

Например:

• x = 1 × x
  
  
• x в пятой степени умножить на y в шестой степени имеет коэффициент 1.
  
  

👉 Термины переменная, константа, член и коэффициент могут напрямую встречаться в формулировках вопросов GMAT и обязательны к знанию.

Алгебраическое выражение

Алгебраическое выражение — это один или несколько членов, соединённых сложением или вычитанием.

Примеры:

• 3x − 5
  
  
• x в квадрате + 7x + 4
  
  
• 12 − y
  
  

Ключевая особенность:

• в выражении нет знака равенства.
  
  

Как только появляется знак равенства и требуется что-то найти — это уже алгебраическое уравнение, к которому мы перейдём позже.

Классификация выражений по числу членов

Моном (monomial)

Моном — выражение с одним членом.

Примеры:

• 5
  
  
• x
  
  
• 7y в квадрате
  
  

Бином (binomial)

Бином — выражение с двумя членами.

Примеры:

• x − 3
  
  
• 4y + 9
  
  
• 2x в квадрате − 5x
  
  

Трином (trinomial)

Трином — выражение с тремя членами.

Примеры:

• x в квадрате − 10x + 25
  
  
• 3x + 4y − 7
  
  

Термины для выражений с четырьмя и более членами нам не понадобятся.

Полином (polynomial)

Полином — это выражение с любым числом членов, содержащее только одну переменную.

Пример:

• 4x в третьей степени − 2x + 9 — полином
  
  
• x + y — не полином (две переменные)
  
  

Степени и типы членов

Линейный член

Линейный член — степень переменной равна 1.

Примеры:

• x
  
  
• 7x
  
  

Квадратичный член

Квадратичный член — степень переменной равна 2.

Примеры:

• x в квадрате
  
  
• 3y в квадрате
  
  

Кубический член

Кубический член — степень переменной равна 3.

Примеры:

• x в кубе
  
  
• y в кубе
  
  

Более высокие степени нам не понадобятся.

Линейные и квадратичные выражения

Термины линейный и квадратичный могут описывать:

• как отдельный член,
  
  
• так и всё выражение целиком (если используется одна переменная).
  
  

Линейное выражение

Линейное выражение — наибольшая степень переменной равна 1.

Примеры:

• 17x — линейный моном
  
  
• 3x − 5 — линейный бином
  
  

Замечание:

• линейный бином всегда состоит из:
  
  
  • одного линейного члена,
    
    
  • одной константы.
    
    

Квадратичное выражение

Квадратичное выражение — наибольшая степень переменной равна 2.

Примеры:

• 14x в квадрате — квадратичный моном
  
  
• x в квадрате − 4 — квадратичный бином
  
  
• 2x в квадрате + 8x — квадратичный бином
  
  
• x в квадрате − 10x + 25 — квадратичный трином
  
  

В последнем примере:

• квадратичный член: x в квадрате
  
  
• линейный член: −10x
  
  
• константа: 25
  
  

Например, коэффициент линейного члена здесь равен −10.

👉 Квадратичные триномы — одна из центральных тем алгебры, и им будет посвящено несколько следующих уроков.

Выражения vs уравнения (итоговое различие)

• Алгебраические выражения
  Изучаем закономерности, верные для всех чисел.
  
  
• Алгебраические уравнения
  Решаем и находим конкретные значения переменных.
  
  

В этом и следующем уроках мы работаем только с выражениями.

Итоговые выводы

В этом вводном уроке мы разобрали ключевые понятия:

• переменная
  
  
• константа
  
  
• член
  
  
• коэффициент
  
  
• выражение
  
  
• моном, бином, трином
  
  
• полином
  
  
• линейные, квадратичные и кубические выражения
  
  

Эти термины — рабочий язык алгебры, и мы будем постоянно использовать их в дальнейших разделах Quant. Далее рассмотрим упрощение алгебраических выражений.