Задачи на последнюю цифру

Эта тема является частью раздела о степенях и корнях в Quant GMAT Focus.

Задачи на последнюю цифру — один из самых частых типов вопросов в GMAT Quant. Почти в каждом квант-разделе встречается хотя бы одна такая задача.

На первый взгляд они выглядят пугающе, но на самом деле это одни из самых простых задач, если знать правильную стратегию.

1. Типичный пример и ложная интуиция

Пример вопроса:

Какова последняя цифра числа 57 в степени 123?

Первая реакция многих студентов — паника:
«Мне нужен калькулятор, чтобы вычислить 57 в степени 123».

Факт:
57 в степени 123 — это число длиной 216 цифр. Ни один обычный калькулятор не способен вычислить его полностью.

Но ключевая идея в том, что нам не нужно всё число.
Нас интересует только последняя цифра.

2. Главная математическая идея

Последняя цифра произведения зависит только от последних цифр множителей.

Пример:

• 3 × 6 = 18 → последняя цифра 8
  
  

Это означает:

• любое число, оканчивающееся на 3,
  
  
• умноженное на любое число, оканчивающееся на 6,
  всегда будет оканчиваться на 8.
  
  

Все остальные цифры (десятки, сотни, тысячи) не имеют значения.

3. Почему достаточно работать с однозначными числами

Если:

• число A оканчивается на 3,
  
  
• число B оканчивается на 9,
  
  

то:

• A × B всегда оканчивается на ту же цифру, что и 3 × 9 = 27 → 7
  
  

Именно поэтому в задачах на последнюю цифру мы игнорируем всё, кроме последней цифры основания.

4. Применяем идею к степеням

Вернёмся к примеру:

57 в степени 123

Последняя цифра числа 57 — это 7.
Значит, последняя цифра 57 в степени 123 будет такой же, как у:

7 в степени 123

5. Строим повторяющийся цикл

Теперь рассматриваем только степени числа 7 и только их последние цифры.

• 7 в степени 1 → 7
  
  
• 7 в степени 2 → 49 → последняя цифра 9
  
  
• 9 × 7 = 63 → последняя цифра 3
  
  
• 3 × 7 = 21 → последняя цифра 1
  
  
• 1 × 7 = 7 → цикл повторился
  
  

Получаем цикл последних цифр:

7 → 9 → 3 → 1

Это повторяющийся паттерн.

6. Период цикла

Цикл состоит из 4 шагов.

Это означает:

• каждая степень, кратная 4, заканчивается на 1
  
  
• степени 7 в степени 4, 8, 12, 16, 20, 120 и т.д. имеют последнюю цифру 1
  
  

Важно:

• в подавляющем большинстве задач GMAT период равен 4
  
  
• исключение: степени 9 (период 2)
  
  

7. Используем показатель степени

Нам нужно:

• 7 в степени 123
  
  

Разложим 123:

• 120 — кратно 4
  
  
• значит, 7 в степени 120 оканчивается на 1
  
  

Продолжаем цикл:

• 7 в степени 121 → 7
  
  
• 7 в степени 122 → 9
  
  
• 7 в степени 123 → 3
  
  

8. Ответ

Последняя цифра числа 57 в степени 123 — это 3.

9. Почему это всегда задача без калькулятора

Мы:

• не вычисляли большое число
  
  
• не использовали ничего сложнее однозначного умножения
  
  
• работали только с циклами последних цифр
  
  

Именно так эти задачи задуманы разработчиками GMAT.

10. Универсальная стратегия для задач на последнюю цифру

1. Оставить только последнюю цифру основания
   
   
2. Построить цикл последних цифр
   
   
3. Найти период (обычно 4)
   
   
4. Использовать кратность показателя степени периоду
   
   
5. Продолжить цикл до нужной степени
   
   

Если вы уверенно применяете эту стратегию, задачи на последнюю цифру становятся быстрыми и надёжными источниками баллов в GMAT Quant.

Далее рассмотрим квадратные корни.