Средняя скорость

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

При подготовке к экзамену полезно время от времени смотреть на задачи глазами автора теста. Создатели GMAT и GRE любят вопросы с предсказуемыми ловушками, потому что такие ловушки отлично отделяют тех, кто действительно понимает материал, от тех, кто действует механически.

Средняя скорость — один из любимых типов задач экзамена именно по этой причине: здесь есть очень соблазнительная и очень распространённая ошибка.

Главная ловушка задач на среднюю скорость

В обычной математике, чтобы найти среднее двух чисел, мы:

• складываем их,
  
  
• делим на 2.
  
  

❌ Так нельзя находить среднюю скорость.

Тем не менее именно в эту ловушку попадает огромное количество тестируемых.

Классический пример ловушки

Условие
Bob проехал:

• 120 миль со скоростью 60 миль в час,
  
  
• затем ещё 120 миль со скоростью 40 миль в час.
  
  

Вопрос: какова его средняя скорость за всю поездку?

Неправильное (ловушечное) рассуждение

Многие делают так:

(60 + 40) / 2 = 50

 

❌ 50 миль в час — неверный ответ.
Этот вариант почти всегда присутствует среди ответов, и его нужно сознательно избегать.

Правильный принцип

Средняя скорость равна:

средняя скорость = общее расстояние / общее время

 

Мы используем формулу D = R × T:

• для каждого участка пути,
  
  
• и для поездки в целом.
  
  

Решение примера

Первый участок

• расстояние: 120 миль
  
  
• скорость: 60 миль/ч
  
  

T = D / R = 120 / 60 = 2 часа

 

Второй участок

• расстояние: 120 миль
  
  
• скорость: 40 миль/ч
  
  

T = 120 / 40 = 3 часа

 

Итог

• общее расстояние: 120 + 120 = 240 миль
  
  
• общее время: 2 + 3 = 5 часов
  
  

средняя скорость = 240 / 5 = 48

 

Ответ

48 миль в час, а не 50.

Обратный путь с другой скоростью

Условие
Cassandra едет:

• из A в B со скоростью 60 миль/ч,
  
  
• обратно из B в A по тому же маршруту со скоростью 20 миль/ч.
  
  

Вопрос: средняя скорость за весь путь?

Ловушка

(60 + 20) / 2 = 40

 

❌ Это снова неправильный ответ.

Метод 1: переменная для расстояния

Пусть:

• D — расстояние от A до B.
  
  

Время в пути

• туда: D / 60
  
  
• обратно: D / 20
  
  

Общее время:

D/60 + D/20

 

Приводим к общему знаменателю:

D/60 + 3D/60 = 4D/60 = D/15

 

Средняя скорость

• общее расстояние: 2D
  
  
• общее время: D/15
  
  

средняя скорость = 2D / (D/15) = 30

 

Ответ

30 миль в час.

Обратите внимание: переменная D сократилась — это всегда происходит, если вы выбираете расстояние в качестве переменной.

Метод 2: подбор удобного расстояния

Можно просто выбрать удобное число.

Пусть расстояние от A до B = 60 миль.

• туда: 60 миль при 60 миль/ч → 1 час
  
  
• обратно: 60 миль при 20 миль/ч → 3 часа
  
  

Итого:

• расстояние: 120 миль
  
  
• время: 4 часа
  
  

120 / 4 = 30

 

Тот же ответ.

Тестовый пример уровня GMAT

Условие
Самолёт летит 3600 миль.

• первые 1800 миль — со скоростью 400 миль/ч;
  
  
• оставшиеся 1800 миль — с постоянной скоростью X.
  
  

Средняя скорость за весь полёт — 450 миль/ч.

Вопрос: чему примерно равна скорость X?

Ожидаемая ловушка

Многие думают:

(400 + 500) / 2 = 450

 

Значит, скорость во второй половине — 500 миль/ч.

❌ Это ловушка, и она почти наверняка есть среди вариантов ответов.

Правильное решение

Время всего полёта

T = D / R = 3600 / 450 = 8 часов

 

Время первой половины

1800 / 400 = 4.5 часа

 

Время второй половины

8 − 4.5 = 3.5 часа

 

Скорость второй половины

1800 / 3.5

 

Умножим числитель и знаменатель на 2:

3600 / 7

 

Быстрая оценка (без калькулятора)

• 3500 / 7 = 500
  
  
• 3600 / 6 = 600
  
  

Значит:

500 < скорость < 600

 

Быстрая прикидка:

3600 / 7 ≈ 514

 

Этого достаточно, чтобы выбрать правильный вариант ответа.

Итог по средней скорости

• Средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей.
  
  
• Всегда используйте формулу:
  
  

средняя скорость = общее расстояние / общее время

 

• Находите:
  
  
  • расстояние каждого участка,
    
    
  • время каждого участка,
    
    
  • суммируйте расстояния и времена.
    
    
• Ловушечный «простой средний» ответ почти всегда присутствует — избегайте его сознательно.
  
  

Если вы стабильно избегаете этой ловушки, вы автоматически обгоняете большую часть тестируемых.

Далее рассмотрим задачи с несколькими путешественниками.