Уравнения с модулем (абсолютным значением)

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

В этом разделе мы начинаем блок продвинутой алгебры. Первый тип задач — уравнения с модулем.

Перед началом важно напомнить базовое свойство модуля, которое разбиралось ранее в теме Positive and Negative Numbers. Если это свойство не до конца понятно, к нему обязательно стоит вернуться — без этого данный раздел будет трудно воспринимать корректно.

Базовые свойства модуля

• |5| = 5

   

• |-5| = 5

   

Следовательно, уравнения:

• |5| = x

   

• |-5| = x

   

имеют одно решение:

• x = 5

   

Эти случаи тривиальны, так как внутри модуля нет переменной.

Модуль с переменной внутри

Рассмотрим уравнение:

• |x| = 5

   

Здесь ситуация принципиально иная.

Если модуль числа равен 5, само число может быть:

• 5

   

• -5

   

Следовательно, уравнение имеет два решения:

• x = 5

   

• x = -5

   

Это важно:

Уравнения с модулем — ещё один класс алгебраических уравнений, которые могут иметь две корня, аналогично квадратным уравнениям.

Модуль от выражения

Рассмотрим более общий случай:

• |2x + 3| = 5

   

Если абсолютное значение выражения равно 5, возможны ровно два случая:

• 2x + 3 = 5

   

• 2x + 3 = -5

   

Обратите внимание:

• между этими уравнениями стоит логическое «или»

   

• это не формальность, а ключевой элемент решения

   

Решаем по отдельности:

1. 2x + 3 = 5
   2x = 2
   x = 1

    

2. 2x + 3 = -5
   2x = -8
   x = -4

    

Ответ:

• x = 1 или x = -4

   

Общее правило

Если:

• E — любое алгебраическое выражение

   

• k — положительное число

   

то уравнение:

• |E| = k

   

эквивалентно системе:

• E = k или

   

• E = -k

   

Важно:

• обозначение E здесь используется только для объяснения

   

• это не стандартная математическая нотация

   

Сначала изолируем модуль

Если модуль не стоит в одиночку в уравнении, его нужно сначала изолировать.

Пример

• |3x — 2| + 1 = 3

   

Шаг 1. Изолируем модуль

• |3x — 2| = 2

   

Шаг 2. Разбиваем на два уравнения

• 3x — 2 = 2

   

• 3x — 2 = -2

   

Шаг 3. Решаем

• x = 4/3

   

• x = 0

   

Оба значения являются кандидатами в решения.

Когда по другую сторону — выражение

На GMAT часто встречается вид:

• |A| = B

   

где B — выражение, а не число.

В этом случае логика та же:

• A = B или

   

• A = -B

   

Но здесь появляется важный момент.

Посторонние (extraneous) решения

При решении уравнений с модулем возможны посторонние решения:

• они корректно получаются алгебраически

   

• но не удовлетворяют исходному уравнению

   

Поэтому:

Каждое найденное решение необходимо проверять подстановкой.

Это же явление позже встретится в уравнениях с квадратным корнем.

Пример с проверкой решений

Рассмотрим уравнение:

• |1 + 2x| = 4 — x

   

Шаг 1. Разбиваем на два случая

• 1 + 2x = 4 — x

   

• 1 + 2x = x — 4

   

Шаг 2. Решаем

1. 1 + 2x = 4 — x
   3x = 3
   x = 1

    

2. 1 + 2x = x — 4
   x = -5

    

Шаг 3. Проверяем

• x = 1
  Левая часть: |3| = 3
  Правая часть: 3
  ✔ работает

   

• x = -5
  Левая часть: | -9 | = 9
  Правая часть: 9
  ✔ работает

   

Итог

• два корректных решения

   

Пример с отбраковкой решения

Рассмотрим:

• |x + 4| = 5 — x

   

Решение

Разбиваем:

• x + 4 = 5 — x

   

• x + 4 = x — 5

   

Получаем:

• x = 1

   

• x = -1.5

   

Проверка

• x = 1
  |5| = 5 ✔

   

• x = -1.5
  Левая часть: 2.5
  Правая часть: -2.5
  ✘ не работает

   

Итог

• единственное решение: x = 1

   

Пример: нет решений

Рассмотрим:

• |2x + 5| = x + 1

   

Разбиваем:

• 2x + 5 = x + 1

   

• 2x + 5 = -x — 1

   

Решения:

• x = -4

   

• x = -2

   

Проверка

• x = -4 → правая часть отрицательная → невозможно

   

• x = -2 → правая часть отрицательная → невозможно

   

Модуль не может быть отрицательным.

Итог

• решений нет

   

• оба корня — посторонние

   

Итоговые правила (обязательно для GMAT)

1. Сначала изолируйте модуль

    

2. Разбейте уравнение:

    

   • A = B или

      

   • A = -B

      

3. Решите оба уравнения

    

4. Проверьте каждое решение подстановкой

    

5. Отбросьте посторонние корни

    

Ключевые выводы

• Уравнения с модулем часто имеют два решения

   

• Возможны посторонние решения

   

• Проверка — обязательный шаг

   

• Если при подстановке правая часть отрицательна, решение автоматически неверно

   

• GMAT регулярно проверяет умение интерпретировать результат, а не только решать алгебру

   

Этот раздел закладывает основу для следующих тем продвинутой алгебры.

Далее изучим функциональную запись.