Задачи на смеси

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

Задачи на смеси связаны со смешиванием растворов разной концентрации. Чтобы уверенно решать такие задачи, достаточно понимать несколько базовых идей. Никаких реальных знаний химии не требуется — вся необходимая информация всегда дана в условии.

Базовые понятия (очень кратко)

• Раствор — это смесь вещества и жидкости (чаще всего воды).
  
  
• Растворённое вещество называется solute (солют).
  
  
• Концентрация показывает, насколько «сильный» раствор, то есть какая доля всего раствора приходится на солют.
  
  

На экзамене концентрация всегда задаётся в процентах.

Определение концентрации

Концентрация — это:

(количество солюта) / (общее количество раствора) × 100%

 

Важно:

• это не отношение солюта к воде;
  
  
• это отношение солюта ко всему раствору (солют + растворитель).
  
  

Все дополнительные детали (по массе, по объёму, тип растворителя — вода, спирт и т. п.) на вычисления не влияют и могут быть полностью проигнорированы.

Простейший тип: составить раствор заданной концентрации

Пример 1

Сколько HCl и воды нужно, чтобы получить 5 литров 30% раствора?

30% = 0.3

Количество солюта:

0.3 × 5 = 1.5 литра

 

Значит:

• HCl: 1.5 литра
  
  
• вода: 5 − 1.5 = 3.5 литра
  
  

Вывод

Такие задачи слишком просты, чтобы быть полноценными тестовыми,
но эти вычисления — обязательный строительный блок для более сложных задач.

Добавление воды (уменьшение концентрации)

Пример 2

Есть 5 литров 30% раствора.
Сколько воды нужно добавить, чтобы получить 20% раствор?

Шаг 1. Количество солюта (оно не меняется)

0.3 × 5 = 1.5 литра

 

Шаг 2. Новый объём раствора

Пусть новый объём = X.

0.2 × X = 1.5

 

X = 7.5 литра

 

Шаг 3. Сколько воды добавить

7.5 − 5 = 2.5 литра

 

Ответ

Нужно добавить 2.5 литра воды.

Смешивание двух растворов разной концентрации

Это самый популярный тип задач на смеси на GMAT и GRE.

Пример 3

Есть:

• 8 литров 60% раствора
  
  
• 4 литра C%-раствора
  
  

После смешивания получается 12 литров 50% раствора.
Найти C.

Шаг 1. Количество солюта

Из первого раствора:

0.6 × 8 = 4.8

 

В итоговом растворе:

0.5 × 12 = 6

 

Шаг 2. Сколько солюта добавили

6 − 4.8 = 1.2

 

Это солют, пришедший из 4 литров второго раствора.

Шаг 3. Находим концентрацию второго раствора

1.2 / 4 = 0.3

 

Ответ

C = 30%

Общий случай: неизвестные количества двух растворов

КЛЮЧЕВОЕ ПРАВИЛО

Если смешиваются два раствора в неизвестных количествах, вы всегда составляете две формулы:

1. уравнение общего объёма
   
   
2. уравнение количества солюта
   
   

Пример 4 (классика GMAT)

Есть неограниченные запасы:

• 20% раствора
  
  
• 50% раствора
  
  

Смешивают X литров первого и Y литров второго, получая
7 литров 40% раствора.

Найти X.

Шаг 1. Уравнение общего объёма

X + Y = 7

 

Шаг 2. Уравнение солюта

Общий солют:

0.4 × 7 = 2.8

 

Солют из компонентов:

0.2X + 0.5Y = 2.8

 

Шаг 3. Решение системы

Из первого:

Y = 7 − X

 

Подставляем:

0.2X + 0.5(7 − X) = 2.8

 

Умножаем всё на 10:

2X + 35 − 5X = 28

 

−3X = −7

 

X = 7/3

 

Ответ

X = 7/3 литра.

Итог по задачам на смеси

• Концентрация = солют / весь раствор.
  
  
• Почти всегда работаем с процентами ↔ десятичными дробями.
  
  
• Концентрацию можно менять:
  
  
  • добавляя воду,
    
    
  • добавляя чистый солют,
    
    
  • смешивая растворы разной концентрации.
    
    
• При смешивании двух растворов:
  
  
  • первое уравнение — объём,
    
    
  • второе уравнение — солют.
    
    

Если вы чётко придерживаетесь этой структуры, задачи на смеси становятся механическими и предсказуемыми.

Далее нас ждет введение в множества и диаграммы Виетта.