Квадратные уравнения — как решать на тесте правильно

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

1. Что такое квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида:

ax² + bx + c = 0,
где

• a ≠ 0

   

• a, b, c — числа

   

• x — переменная

   

Это каноническая форма, и практически все методы решения на GMAT / GRE применяются именно к ней.

2. Первый обязательный шаг: привести уравнение к виду = 0

Независимо от исходной записи, любое квадратное уравнение сначала приводится к виду:

ax² + bx + c = 0

Примеры

• x² + 3x = 10
  → x² + 3x − 10 = 0

   

• 5x² = 20
  → 5x² − 20 = 0

   

• x² + 4 = 2x
  → x² − 2x + 4 = 0

   

Ошибка GMAT: пытаться решать квадратное уравнение, пока оно не приведено к нулю.

3. Общая стратегия решения квадратных уравнений

Для подавляющего большинства задач GMAT / GRE применяется один и тот же алгоритм:

Алгоритм

1. Привести уравнение к виду ax² + bx + c = 0

    

2. Вынести наибольший общий множитель (если есть)

    

3. Разложить выражение на множители

    

4. Применить Zero Product Property

    

5. Решить полученные линейные уравнения

    

4. Zero Product Property (ключевое правило)

Если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю:

Если
A · B = 0,
то
A = 0 ИЛИ B = 0

Важно:

• «ИЛИ» — математическое, не исключающее

   

• возможны две, одна или ни одной реальные корни

   

5. Решение через факторизацию (основной метод)

Пример 1

x² − 10x + 16 = 0

Факторизация:

(x − 2)(x − 8) = 0

Следовательно:

x − 2 = 0 → x = 2
x − 8 = 0 → x = 8

Два решения

Пример 2 (отрицательный свободный член)

x² + 4x − 21 = 0

Ищем числа с:

• произведением −21

   

• суммой +4

   

Подходит: +7 и −3

(x + 7)(x − 3) = 0

Решения:

x = −7
x = 3

6. Квадратное уравнение с общим множителем

Пример

5x² − 20x = 0

Выносим GCF:

5x(x − 4) = 0

Zero Product Property:

5x = 0 → x = 0
x − 4 = 0 → x = 4

7. Совпадающие корни (одно решение)

Пример

x² − 6x + 9 = 0

Это квадрат разности:

(x − 3)(x − 3) = 0

Следовательно:

x = 3

одно решение, но кратности 2
(важно для продвинутых задач)

8. Квадратное уравнение без решений

Пример

x² + 5 = 0

x² = −5

Невозможно, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Решений нет

GMAT часто проверяет умение распознать отсутствие решений, а не «посчитать».

9. Квадратные уравнения, замаскированные под другие формы

Пример

x(x − 5) = 14

Раскрываем скобки:

x² − 5x − 14 = 0

Факторизация:

(x − 7)(x + 2) = 0

Решения:

x = 7
x = −2

10. Типичные ошибки GMAT

Пытаться «собрать x» как в линейных уравнениях
Делить на выражение с x
Не приводить к виду = 0
Потерять один из корней
Игнорировать нулевой корень при вынесении x

11. Выводы (экзаменационная логика)

• Все квадратные уравнения сначала приводятся к виду ax² + bx + c = 0

   

• Основной метод решения — факторизация

   

• Zero Product Property — ключевой инструмент

   

• Возможны 0, 1 или 2 решения

   

GMAT чаще проверяет структуру и логику, чем вычисления.

Далее нас ждет глава о системах уравнений с двумя неизвестными.