Сближающиеся и расходящиеся расстояния

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

В некоторых задачах на движение рассматриваются два путешественника, которые движутся навстречу друг другу или в одном направлении. Такие задачи часто кажутся сложными, но их можно сильно упростить, если правильно понять логику изменения расстояния (разрыва, gap) между объектами.

Перед решениями введём чёткую терминологию.

Два фундаментальных случая движения

На самом деле все подобные задачи сводятся к двум математическим ситуациям.

1) Движение в противоположных направлениях

(неважно — сближаются или расходятся)

• один объект движется, например, на восток;
  
  
• другой — на запад;
  
  
• векторные направления противоположны.
  
  

Правило:

если движение в противоположных направлениях — СКОРОСТИ СКЛАДЫВАЮТСЯ

• если объекты сближаются → расстояние уменьшается со скоростью R1 + R2
  
  
• если объекты расходятся → расстояние увеличивается со скоростью R1 + R2
  
  

Важно:
это одна и та же ситуация, просто разные моменты времени.
После встречи сближение автоматически переходит в расхождение.

2) Движение в одном направлении

(неважно — догоняет или удаляется)

• оба объекта движутся в одну сторону;
  
  
• один быстрее другого.
  
  

Правило:

если движение в одном направлении — СКОРОСТИ ВЫЧИТАЮТСЯ
(большая минус меньшая)

• если быстрый сзади → расстояние уменьшается
  
  
• если быстрый впереди → расстояние увеличивается
  
  

И это тоже одна и та же история во времени:
быстрый сначала догоняет, потом обгоняет и начинает удаляться.

Краткая таблица правил

Ситуация	Что делать со скоростями
Противоположные направления	Складывать
Одно направление	Вычитать
Быстрый сзади	расстояние уменьшается
Быстрый впереди	расстояние увеличивается

Ключевая стратегия GMAT

Вместо того чтобы писать D = RT для каждого объекта, часто выгоднее:

написать одно уравнение D = RT для расстояния (gap) между ними

Это резко упрощает расчёты и экономит время.

Пример 1: автомобиль догоняет грузовик

Условие

• автомобиль и грузовик движутся в одном направлении
  
  
• скорость грузовика — 50 миль/ч
  
  
• скорость автомобиля — неизвестна
  
  
• в 3:00 автомобиль на 30 миль позади грузовика
  
  
• в 4:30 автомобиль его догоняет
  
  

Вопрос: какова скорость автомобиля?

Решение через разрыв (gap)

• расстояние уменьшилось с 30 до 0
  
  
• время: 1.5 часа
  
  

скорость сближения = 30 / 1.5 = 20 миль/ч

 

Это и есть разность скоростей.

R_авто − 50 = 20

R_авто = 70

 

Ответ

70 миль в час

Пример 2: два автомобиля навстречу друг другу

Условие

• расстояние между городами J и K — 480 миль
  
  
• в 10:00:
  
  
  • автомобиль M едет на юг
    
    
  • автомобиль N едет на север
    
    
• скорость N в 2 раза больше скорости M
  
  
• встречаются в 14:00
  
  

Вопрос: скорость автомобиля N?

Решение через gap

• расстояние: 480 → 0
  
  
• время: 4 часа
  
  

скорость сближения = 480 / 4 = 120

 

Движение в противоположных направлениях ⇒ складываем скорости:

R_M + R_N = 120

R_N = 2R_M

 

3R_M = 120

R_M = 40

R_N = 80

 

Ответ

80 миль в час

Пример 3 (сложный): сближение → расхождение

Условие

• автомобили P и Q движутся навстречу
  
  
• скорости:
  
  
  • P = 49 миль/ч
    
    
  • Q = 61 миль/ч
    
    
• в 14:00 расстояние между ними — 121 миля
  
  
• вопрос: в какое время они будут удаляться друг от друга и находиться на расстоянии 44 миль?
  
  

Ключевое наблюдение

Они всегда движутся в противоположных направлениях —
и при сближении, и при расхождении.

Поэтому:

скорость изменения расстояния = 49 + 61 = 110 миль/ч

 

Общая дистанция изменения gap

• сначала: 121 → 0
  
  
• потом: 0 → 44
  
  

общая дистанция = 121 + 44 = 165

 

Время

T = 165 / 110

 

Сокращаем на 11:

T = 15 / 10 = 1.5 часа

 

Ответ

1.5 часа после 14:00 → 15:30

Итоговые правила

1. Противоположные направления → складываем скорости
   
   
2. Одно направление → вычитаем скорости
   
   
3. Неважно, сближаются или расходятся — важны направления
   
   
4. Часто выгоднее:
   
   
   • рассматривать расстояние между объектами,
     
     
   • писать D = RT для gap, а не для каждого участника
     
     

Этот подход — один из самых мощных инструментов для задач на движение на GMAT и GRE.

Далее изучим задачи на работу.