Дополнительные события и простые правила вероятности

Эта тема является частью раздела о вероятностях в Quant GMAT Focus.

Теперь мы можем перейти к базовым правилам теории вероятностей, в том числе к правилу дополнения. Прежде чем формулировать сами правила, разберёмся с обозначениями, которые будем использовать.

Обозначения событий и вероятностей

В теории вероятностей отдельные события принято обозначать буквами.

Например:

• A — вытянуть две червы,
  
  
• B — завтра пойдёт снег,
  
  
• C — Финляндия выиграет золотую медаль.
  
  

Разумеется, в каждом случае должна быть чётко задана ситуация, в рамках которой мы рассматриваем вероятность события.

В абстрактной записи:

P(A) означает вероятность события A.

Например, если A — это «вытянуть две червы», то P(A) — вероятность вытянуть две червы при заданных условиях эксперимента.

Значения вероятности

Для большинства событий вероятность лежит строго между 0 и 1.

• Если вероятность равна 0, событие абсолютно невозможно и гарантированно не произойдёт.
  
  
• Если вероятность равна 1, событие абсолютно достоверно и гарантированно произойдёт.
  
  

События с вероятностью 0 или 1 обычно не представляют большого интереса, потому что в них нет неопределённости.
Основной интерес в теории вероятностей представляют события, вероятность которых находится между 0 и 1, то есть события с некоторой степенью неопределённости.

Понятие дополнения события

Теперь введём одно из ключевых понятий — дополнение события.

Дополнение события A — это событие «не A».

Примеры:

• Если A — вытянуть две червы, то не A — вытянуть что угодно, кроме двух червей.
  
  
• Если A — Финляндия выигрывает золотую медаль, то не A — Финляндия не выигрывает золотую медаль.
  
  

Иначе говоря, событие A и событие не A вместе покрывают все возможные исходы.

Визуальная логика и ключевая идея

Рассмотрим все возможные исходы эксперимента как одно целое множество.

Зададимся вопросом:
какова вероятность того, что из всех возможных исходов произойдёт какой-то один?

Ответ очевиден: 1.
Что-то обязательно произойдёт.

Следовательно:

• вероятность всего пространства исходов равна 1;
  
  
• вероятность события A и вероятность события не A в сумме дают 1.
  
  

Запишем это формально:

P(A) + P(не A) = 1

Правило дополнения (complement rule)

Из предыдущего равенства можно выразить вероятность дополнения:

P(не A) = 1 − P(A)

Это и есть правило дополнения — одно из важнейших правил теории вероятностей.

Оно используется в самых разных типах задач и часто оказывается стратегически более удобным, чем прямой подсчёт вероятности события A.

Это первое фундаментальное правило вероятности, с которого мы начинаем.

Приближённые правила: AND и OR

В качестве общего ориентира часто используют следующие приближённые правила:

• OR означает «складывать» вероятности,
  
  
• AND означает «умножать» вероятности.
  
  

Если бы вы остановились в изучении теории вероятностей прямо здесь и пользовались только этими идеями, вы уже смогли бы решать заметную часть задач на экзамене.

Однако важно понимать:
эти правила не являются абсолютно точными в общем случае. В следующих уроках мы будем уточнять условия, при которых они работают, и разбирать более строгие формулировки.

Выводы

• События обозначаются буквами, а их вероятность записывается как P(A).
  
  
• Вероятности интересных событий лежат между 0 и 1.
  
  
• Дополнение события A — это событие «не A».
  
  
• Вероятности события и его дополнения всегда суммируются до 1.
  
  
• Правило дополнения: P(не A) = 1 − P(A).
  
  
• В качестве первых ориентиров:
  OR — складываем, AND — умножаем (с последующими уточнениями).
  
  

В следующих уроках мы будем расширять набор правил и разбирать, как применять их корректно и эффективно в задачах GMAT и GRE Quant. И далее изучим главу о взаимоисключающих событиях.