Проверка случаев для четных и нечетных чисел

Эта тема является частью раздела целочисленных свойств в Quant GMAT Focus.

В предыдущей главе мы разобрали свойства четных и нечетных чисел. Теперь применим их на практике. Если вы не уверены в правилах сложения, умножения и логических выводов для четных и нечетных чисел, имеет смысл сначала повторить предыдущий материал.

В этой главе мы разберем метод проверки случаев (case testing) и сравним его с логическим подходом, который чаще всего ожидается на экзамене GMAT.

Метод четырех случаев: базовая идея

Если P и Q — целые числа, то возможны ровно четыре комбинации их четности:

1. P — четное, Q — четное
   
   
2. P — нечетное, Q — нечетное
   
   
3. P — четное, Q — нечетное
   
   
4. P — нечетное, Q — четное
   
   

Для проверки удобно использовать:

• 2 как представителя четных чисел
  
  
• 1 как представителя нечетных чисел
  
  

Экзаменационный пример 1

Условие:
P и Q — целые числа.
Выражение P в квадрате + P×Q — нечетное.

Вопрос: что можно утверждать о P и Q?

Решение методом четырех случаев

Случай 1: P — четное, Q — четное

Подставим P = 2, Q = 2:

• 2 в квадрате + 2×2 = 4 + 4 = 8 (четное)
  Не подходит.
  
  

Случай 2: P — нечетное, Q — нечетное

Подставим P = 1, Q = 1:

• 1 + 1 = 2 (четное)
  Не подходит.
  
  

Случай 3: P — четное, Q — нечетное

Подставим P = 2, Q = 1:

• 4 + 2 = 6 (четное)
  Не подходит.
  
  

Случай 4: P — нечетное, Q — четное

Подставим P = 1, Q = 2:

• 1 + 2 = 3 (нечетное)
  Подходит.
  
  

Вывод по методу случаев

Единственный возможный вариант:

• P — нечетное
  
  
• Q — четное
  
  

То же решение логическим способом

Логика позволяет решить задачу быстрее.

1. Если P — четное, то:
   
   
   • P в квадрате — четное
     
     
   • P×Q — четное
     
     
   • сумма четная + четная = четная
     Это противоречит условию.
     
     
2. ⇒ P не может быть четным, значит P — нечетное.
   
   
3. Если P — нечетное:
   
   
   • P в квадрате — нечетное
     
     
4. Чтобы сумма была нечетной, второе слагаемое P×Q должно быть четным.
   
   
5. Произведение нечетного числа на целое число будет четным только если Q — четное.
   
   

Итог:

• P — нечетное
  
  
• Q — четное
  
  

Экзаменационный пример 2

Условие:
P и Q — целые числа.
Выражение 4P + Q — нечетное.

Вопрос: что должно быть верно?

Метод четырех случаев

Случай 1: P — четное, Q — четное

P = 2, Q = 2:

• 8 + 2 = 10 (четное)
  Не подходит.
  
  

Случай 2: P — нечетное, Q — нечетное

P = 1, Q = 1:

• 4 + 1 = 5 (нечетное)
  Подходит.
  
  

Случай 3: P — четное, Q — нечетное

P = 2, Q = 1:

• 8 + 1 = 9 (нечетное)
  Подходит.
  
  

Случай 4: P — нечетное, Q — четное

P = 1, Q = 2:

• 4 + 2 = 6 (четное)
  Не подходит.
  
  

Анализ результатов

Подходящие случаи — те, где Q нечетное.

• Если Q — нечетное, выражение всегда нечетное
  
  
• Если Q — четное, выражение четное независимо от P
  
  

Логическое решение

• 4P всегда четное, независимо от того, четное P или нечетное
  
  
• Чтобы сумма 4P + Q была нечетной, Q должно быть нечетным
  
  

Про P нельзя сделать никаких обязательных выводов.

Когда использовать метод случаев

• Метод подстановки удобен:
  
  
  • на начальном этапе обучения
    
    
  • когда логика не очевидна сразу
    
    
• Логический подход:
  
  
  • быстрее
    
    
  • глубже
    
    
  • чаще соответствует официальным решениям GMAT
    
    

Рекомендуемая стратегия:

1. Решите задачу методом случаев
   
   
2. Затем попробуйте переформулировать решение логически
   
   

Это развивает number sense, а не просто механические навыки.

Итоги

В этой главе мы разобрали:

• метод четырех случаев для задач на четность
  
  
• применение подстановки 1 и 2
  
  
• логические альтернативы к перебору случаев
  
  
• типичные экзаменационные выводы
  
  
• важность различия между тем, что должно быть верно, и тем, что может быть верно
  
  

Умение тестировать случаи и затем переходить к логическому анализу — ключевой навык для сложных задач GMAT и GRE на свойства целых чисел. Далее последует глава об остатках деления.