Независимые события

Эта тема является частью раздела о вероятностях в Quant GMAT Focus.

Чтобы перейти к правилу AND в теории вероятностей, сначала необходимо разобраться с понятием независимых событий.

Что означает независимость событий

В теории вероятностей два события называются независимыми, если они никак не влияют друг на друга.

Иначе говоря:

• исход события A не оказывает никакого влияния на исход события B,
  
  
• знание результата одного события не даёт никакой информации о результате другого.
  
  

Это ключевое определение, и его важно понимать концептуально, а не механически.

Классические примеры независимости

Кости

Если бросить две игральные кости:

• количество точек на одной кости никак не влияет на количество точек на другой.
  
  

Каждая кость «живёт своей жизнью». Эти события независимы.

Монеты

Последовательные подбрасывания монеты:

• результат предыдущего броска никак не влияет на следующий,
  
  
• даже если подряд выпало несколько орлов, вероятность орла или решки при следующем броске остаётся 1/2.
  
  

Монета не имеет памяти и не «реагирует» на прошлые результаты.

То же самое верно, если подбрасывать несколько монет одновременно:
результат каждой монеты независим от остальных.

Независимость в реальных ситуациях

В реальной жизни независимые события тоже встречаются, но обычно в довольно искусственных сочетаниях.

Например:

• количество писем, полученных за день,
  
  
• и значение индекса Dow Jones в этот же день.
  
  

Эти величины полностью не связаны между собой: знание одной не даёт никакой информации о другой.

Аналогично:

• количество очков, набранных командой New York Mets в конкретный день,
  
  
• и количество рыбы, пойманной в регионе Осака в тот же день.
  
  

Да, такие события независимы, но именно потому, что они настолько несвязаны, их редко рассматривают вместе в содержательных задачах.

Поэтому в экзаменационных задачах независимость чаще всего появляется в формально устроенных системах — кости, монеты, карты, шары и т.п.

Независимость в карточных задачах

В карточных задачах независимость может проявляться по-разному.

Масть и достоинство карты

Если вытянуть одну карту из полной колоды, то:

• масть карты,
  
  
• и её достоинство (число или картинка)
  
  

являются независимыми характеристиками.

Если вам сказали, что карта — червовая, это не даёт никакой информации о том, является ли она тузом, десяткой или фигурной картой.

В этом смысле масть и достоинство карты независимы.

Выбор с возвращением и без возвращения

Когда из колоды (или любого набора) выбирают несколько объектов, важно различать два случая.

Выбор с возвращением (with replacement)

Это означает:

• объект выбирают,
  
  
• фиксируют результат,
  
  
• возвращают обратно в исходный набор,
  
  
• и только после этого делают следующий выбор.
  
  

Каждый выбор происходит из одного и того же полного набора.

Пример:

• вытянули карту,
  
  
• посмотрели,
  
  
• положили обратно в колоду,
  
  
• перемешали,
  
  
• вытянули следующую карту.
  
  

В этом случае все выборы независимы, потому что условия каждого выбора одинаковы.

Выбор без возвращения (without replacement)

Это стандартная ситуация в реальных карточных играх.

• карта вытаскивается,
  
  
• откладывается в сторону,
  
  
• и больше не участвует в следующих выборах.
  
  

Каждый последующий выбор происходит из уменьшенного набора:

• сначала из 52 карт,
  
  
• затем из 51,
  
  
• затем из 50 и т.д.
  
  

Поскольку условия меняются после каждого выбора, события не являются независимыми.

Связь независимости с правилом AND

Если события A и B независимы, то применяется упрощённое правило AND:

P(A и B) = P(A) × P(B)

Это простое и мощное правило, но оно работает только при независимости событий.

Как определить независимость на экзамене

Ключевой вопрос, который нужно себе задать:

Влияет ли исход A хоть каким-то образом на исход B?

• если влияние отсутствует — события независимы;
  
  
• если исход одного события меняет вероятности другого — события зависимы.
  
  

Экзамен GMAT и GRE часто проверяет именно это понимание, а не формальное знание формул.

Выводы

• Независимые события не влияют друг на друга.
  
  
• Знание результата одного события не даёт информации о другом.
  
  
• Выбор с возвращением приводит к независимым событиям.
  
  
• Выбор без возвращения делает события зависимыми.
  
  
• Для независимых событий действует правило:
  P(A и B) = P(A) × P(B).
  
  
• Для зависимых событий требуется более общее правило, которое будет разобрано далее.
  
  

В следующих уроках мы рассмотрим общее правило AND и научимся работать с вероятностями зависимых событий в экзаменационных задачах.