Объединение отношений

Иногда в задачах Quant встречается ситуация, когда внутри одной общей группы даны несколько отдельных отношений между разными подгруппами. В этом случае нужно связать отношения между собой и выйти либо на общее отношение всех частей, либо на абсолютные количества.

Перед началом — три важных напоминания.

Напоминание 1: отношения удобно записывать как дроби

Отношение можно рассматривать как дробь, а значит:

• его можно сокращать;

   

• его можно расширять (умножать числитель и знаменатель на одно и то же число);

   

• можно находить эквивалентные отношения.

   

Пример: 1:2 эквивалентно 7:14 или 13:26, потому что 1/2 = 7/14 = 13/26.

Эта идея критична, когда нужно «согласовать» два отношения через общий элемент.

Напоминание 2: масштабный множитель и алгебра

Если A:B = 3:8, то можно записать:

• A = 3n

   

• B = 8n

   

где n — неизвестный масштабный множитель.

Как только найден n, можно получить абсолютные значения всех частей. Это делает алгебраический подход к отношениям очень мощным.

Напоминание 3: что можно и нельзя сокращать в пропорциях

В пропорциях допустимо:

• сокращать «вверх-вниз» внутри дроби;

   

• сокращать по двум числителям или по двум знаменателям (если это корректно записано как произведения).

   

Недопустимо:

• перекрёстное сокращение (cross-canceling) — это типичная ошибка.

   

Если это правило неочевидно, нужно отдельно разобрать операции с пропорциями. Далее предполагается, что эти правила уже понятны.

Когда возникает задача на объединение отношений

Типичный сценарий: в группе есть, например, тип 1, тип 2 и тип 3. Даны:

• отношение тип 1 к тип 2;

   

• отношение тип 2 к тип 3.

   

Нужно объединить их.

Две основные стратегии

Стратегия A: привести отношения к общему элементу (эквивалентные отношения)

1. Найти общий элемент (например, «тип 2» присутствует в обоих отношениях).

    

2. Преобразовать отношения так, чтобы общий элемент имел одинаковый коэффициент в обоих.

    

3. Объединить в одно отношение с тремя (или более) компонентами.

    

Стратегия B: если дана абсолютная величина — «раскрывать» по цепочке

1. Использовать отношение, в котором присутствует известная величина.

    

2. Найти абсолютное количество для соседней категории.

    

3. Перейти к следующему отношению и так далее.

    

Иногда обе стратегии применимы, и это полезно: чем больше способов решения вы видите, тем лучше вы контролируете тему.

Задача 1: найти долю подгруппы от целого

Условие:
В школьной команде есть только ученики 10, 11 и 12 классов.
Отношение 10-классников к 11-классникам равно 2:3.
Отношение 11-классников к 12-классникам равно 5:6.
Какую долю всей команды составляют 10-классники?

Шаг 1: общий элемент

Общий элемент — 11-классники.

• 10 : 11 = 2 : 3

   

• 11 : 12 = 5 : 6

   

Здесь 11 представлены как 3 и как 5. Приводим к одному числу: НОК(3, 5) = 15.

Шаг 2: делаем эквивалентные отношения

Умножаем первое отношение на 5:

• 10 : 11 = 10 : 15

   

Умножаем второе отношение на 3:

• 11 : 12 = 15 : 18

   

Шаг 3: объединяем

Получаем общее отношение:

• 10 : 11 : 12 = 10 : 15 : 18

   

Сократить нельзя (нет общего делителя больше 1).

Шаг 4: доля от целого

Всего частей:

10 + 15 + 18 = 43

Доля 10-классников:

10/43

Ответ: 10/43

Задача 2: есть абсолютное количество

Условие:
В компании отношение программистов к маркетологам равно 3:8.
Отношение сотрудников поддержки к маркетологам равно 2:3.
Программистов 27. Сколько сотрудников поддержки?

Шаг 1: найти маркетологов

3 : 8 = 27 : M

Видим, что 27 соответствует «3 части», значит 1 часть = 9.
Тогда маркетологи (8 частей):

M = 8 × 9 = 72

Шаг 2: найти поддержку

2 : 3 = C : 72

72 соответствует 3 частям, значит 1 часть = 24.
Тогда поддержка (2 части):

C = 2 × 24 = 48

Ответ: 48

Задача 3: объединение отношений + алгебра

Условие:
1 чашка масла хватает на 8 печений Роджера.
1 чашка сахара хватает на 5 печений Роджера.
Сахара использовано на 15 чашек больше, чем масла.
Сколько печений он сделал?

Здесь нужно:

1. объединить отношения,

    

2. затем использовать разность «на 15 больше».

    

Часть 1: объединяем отношения через общий элемент (печенья)

Записываем:

• масло : печенья = 1 : 8

   

• сахар : печенья = 1 : 5

   

Общий элемент — печенья. НОК(8, 5) = 40.

Приводим:

• 1 : 8 умножаем на 5 → 5 : 40

   

• 1 : 5 умножаем на 8 → 8 : 40

   

Теперь можно объединить:

масло : сахар : печенья = 5 : 8 : 40

Часть 2: вводим масштабный множитель

Пусть:

• масло = 5n

   

• сахар = 8n

   

• печенья = 40n

   

По условию сахара на 15 чашек больше:

8n − 5n = 15
3n = 15
n = 5

Тогда печенья:

40n = 40 × 5 = 200

Ответ: 200

Итоговые выводы

В задачах на объединение отношений используйте один из двух подходов:

1. Эквивалентные отношения через общий элемент

    

• привести общий элемент к одному коэффициенту

   

• объединить в одно отношение

   

1. Цепочка абсолютных значений (если дана конкретная численность)

    

• из известного количества найти соседнюю категорию

   

• затем двигаться дальше по следующим отношениям

   

В более сложных задачах часто нужно:

• сначала объединить отношения,

   

• затем ввести масштабный множитель n,

   

• и использовать дополнительное условие (разность, сумма, ограничение) для нахождения n.

   

Этот навык регулярно проверяется на GMAT и заметно ускоряет решение задач, где алгебра «в лоб» была бы слишком долгой.

Следующая глава будет посвящена отношениям и скорости. А далее отношениям и процентам.