Введение в множества и диаграммы Венна

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

Некоторые текстовые задачи посвящены множествам и их элементам. В реальной жизни один человек может одновременно принадлежать сразу к нескольким множествам: по полу, языку, профессии, интересам и т. д. Поэтому в целом тема множеств может быть довольно сложной.

К счастью, на GMAT и GRE рассматриваются очень ограниченные и упрощённые сценарии. Самый базовый и самый распространённый из них — две группы с возможным пересечением.

Базовый сценарий с двумя множествами

В задачах такого типа:

• каждый объект может:
  
  
  • принадлежать только первому множеству,
    
    
  • только второму,
    
    
  • обоим одновременно,
    
    
  • ни одному из них.
    
    

Пример

В школе есть:

• ученики в музыкальной группе,
  
  
• ученики в бейсбольной команде.
  
  

Тогда:

• часть учеников только в группе,
  
  
• часть только в команде,
  
  
• часть — и там и там,
  
  
• часть — ни там, ни там.
  
  

Диаграмма Венна

Такой сценарий удобно изображать диаграммой Венна:

• прямоугольник — вся совокупность (все ученики);
  
  
• два пересекающихся круга — два множества.
  
  

Получаются четыре области:

• A — только левое множество
  
  
• B — пересечение (оба множества)
  
  
• C — только правое множество
  
  
• D — вне обоих множеств
  
  

И всегда верно:

A + B + C + D = общее количество

 

Ключевая ловушка формулировок

Очень важно внимательно читать текст задачи.

Пример формулировок

«35 студентов в музыкальной группе»
Это означает:

A + B = 35

•  (включая тех, кто одновременно в бейсбольной команде)
  
  

«35 студентов только в музыкальной группе»
Это означает:

A = 35

•  

Небольшое изменение слов — радикально меняет математику.

Типичная структура задачи

Обычно:

• дано общее количество людей;
  
  
• дана информация о некоторых множествах;
  
  
• остальные значения находятся через сложение и вычитание.
  
  

Пример 1 (базовый)

Условие

• всего 100 учеников;
  
  
• 60 — в музыкальной группе;
  
  
• 35 — в бейсбольной команде;
  
  
• 25 — ни там, ни там.
  
  

Вопрос: сколько учеников и в группе, и в команде?

Решение

Обозначим:

• группа → левый круг,
  
  
• команда → правый круг.
  
  

Из условия:

A + B = 60

B + C = 35

D = 25

 

Так как всего 100 учеников:

A + B + C = 75

 

Подставим B + C = 35:

A + 35 = 75

A = 40

 

Теперь:

40 + B = 60

B = 20

 

Ответ

20 учеников состоят и в группе, и в команде.

(Для проверки: A=40, B=20, C=15, D=25 → всего 100.)

Пример 2 (более сложный)

Условие (кратко)

• изучают французский и испанский;
  
  
• число изучающих оба языка равно числу изучающих ни один;
  
  
• четверть изучающих испанский изучают также французский;
  
  
• число изучающих французский на 10 меньше, чем число изучающих только испанский;
  
  
• всего 200 студентов.
  
  

Вопрос: сколько студентов изучают только французский?

Обозначения

• A — только французский
  
  
• B — оба языка
  
  
• C — только испанский
  
  
• D — ни один
  
  

Перевод условий в уравнения

1. Оба = ни один:
   
   

B = D

 

1. Четверть испанцев изучает французский:
   
   

1/4 (B + C) = B

 

Умножаем на 4:

B + C = 4B

C = 3B

 

1. Французский всего на 10 меньше, чем испанский только:
   
   

A + B = C − 10

 

Подставляем C = 3B:

A = 2B − 10

 

Используем общее количество

A + B + C + D = 200

 

Подставляем:

(2B − 10) + B + 3B + B = 200

 

7B − 10 = 200

7B = 210

B = 30

 

Находим искомое

A = 2(30) − 10 = 50

 

Ответ

50 студентов изучают только французский язык.

Итог по задачам на множества

• Диаграммы Венна особенно полезны при двух пересекающихся множествах.
  
  
• Всегда мысленно (или на черновике) делите задачу на 4 области.
  
  
• Будьте максимально внимательны к словам:
  
  
  • «в X» → включает пересечение,
    
    
  • «только в X» → исключает пересечение.
    
    
• Обычно:
  
  
  • одно уравнение — общее количество,
    
    
  • остальные — связи между областями.
    
    

При аккуратной работе с формулировками задачи на множества становятся логичными и предсказуемыми.

Далее изучим метод двойной таблицы.