Правила делимости

Эта тема является частью раздела целочисленных свойств в Quant GMAT Focus.

Правила делимости — один из любимых инструментов экзамена GMAT и GRE. Они позволяют быстро определить, делится ли число нацело, без выполнения полного деления, что критично для экономии времени на тесте.

Простые разминочные примеры

Рассмотрим два базовых вопроса:

• Делится ли 56 на 7?

   

• Делится ли 50 на 13?

   

Ответы:

• Да, 56 = 7 × 8

   

• Нет, 13 делит 52, но не 50

   

Если такие вопросы не решаются сразу, это сигнал, что стоит лучше отработать таблицу умножения. На GMAT и GRE предполагается, что базовая арифметика выполняется автоматически.

Зачем нужны правила делимости

Теперь рассмотрим более сложный вопрос:

Делится ли большое многозначное число на 3?

Очевидно, что:

• никто не ожидает, что вы выполните полное деление в уме

   

• вместо этого используется правило делимости

   

Экзамен очень активно проверяет знание этих правил, поэтому их необходимо знать и применять уверенно.

Делимость на 2

Правило:
Число делится на 2, если его последняя цифра четная.

Как проверять:

Смотрим только на последнюю цифру, все остальные цифры игнорируем.

Четные цифры:
0, 2, 4, 6, 8

Если последняя цифра — одна из них, число четное и делится на 2.

Делимость на 5

Правило:
Число делится на 5, если его последняя цифра — 5 или 0.

Примечание:

Как и в случае с делимостью на 2, учитывается только последняя цифра.

• Оканчивается на 5 или 0 → делится на 5

   

• Любая другая цифра → не делится на 5

   

Делимость на 4

Правило:
Число делится на 4, если последние две цифры образуют число, которое делится на 4.

Как проверять:

1. Берем только две последние цифры

    

2. Рассматриваем их как двузначное число

    

3. Проверяем делимость этого числа на 4

    

Пример:

Если последние две цифры — 96, то:

• 96 делится на 4

   

• значит, все число делится на 4

   

Делимость на 3

Это одно из самых часто используемых правил на экзамене.

Правило:
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Примеры:

• 135:
  1 + 3 + 5 = 9 → делится на 3 → 135 делится на 3

   

• 734:
  7 + 3 + 4 = 14 → не делится на 3 → 734 не делится на 3

   

• 1 296:
  1 + 2 + 9 + 6 = 18 → делится на 3 → 1 296 делится на 3

   

Большие числа

Для многозначных чисел правило работает точно так же — просто суммируются все цифры.

Если сумма цифр делится на 3, значит и исходное число делится на 3.

Делимость на 9

Правило:
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Это правило полностью аналогично правилу для 3, но с проверкой на 9.

Примеры:

• 1 296:
  сумма цифр = 18 → делится на 9 → число делится на 9

   

• 1 372:
  1 + 3 + 7 + 2 = 13 → не делится на 9

   

При этом:

• 13 делится на 3, но не на 9

   

• значит, 1 372 делится на 3, но не на 9

   

Связь с другими правилами

Последние две цифры числа 1 372 — 72, а 72 делится на 4.
Следовательно, это число делится и на 3, и на 4, а значит, делится на 12.

Делимость на 6

Правило:
Число делится на 6, если одновременно выполняются два условия:

1. число делится на 2

    

2. число делится на 3

    

Пример:

Проверим число 1 296.

• Последняя цифра четная → делится на 2

   

• Сумма цифр = 18 → делится на 3

   

Оба условия выполнены → 1 296 делится на 6.

Контрпример:

Для большого числа:

• оно четное → делится на 2

   

• сумма цифр не делится на 3

   

Следовательно, число не делится ни на 3, ни на 6.

Summary

В этой главе были разобраны ключевые правила делимости, которые регулярно используются в Quant-разделе GMAT и GRE:

• делимость на 2

   

• делимость на 5

   

• делимость на 4

   

• делимость на 3

   

• делимость на 9

   

• делимость на 6 (комбинация правил для 2 и 3)

   

Эти правила позволяют:

• быстро анализировать большие числа

   

• избегать лишних вычислений

   

• эффективно решать задачи на делимость и множители

   

Далее эти правила будут активно использоваться при работе с факторами, остатками и разложением чисел, поэтому важно владеть ими уверенно и автоматически.