Разложение квадратного тринома на произведение линейных биномиалов

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

Самая сложная и одновременно самая важная тема в факторизации — это умение разложить квадратичный трином на произведение двух линейных биномиалов.

Пример типичного квадратичного тринома:

x в квадрате + 4x − 21

Наша цель — представить его в виде произведения двух выражений вида:

(x + p)(x + q)

На экзамене GMAT и GRE такая факторизация редко является самостоятельной задачей. Гораздо чаще это промежуточный шаг при решении более крупной задачи (уравнение, дробь, Data Sufficiency и т.д.). Тем не менее, навык обязателен.

Связь факторизации и FOIL

Чтобы понять факторизацию квадратных триномов, нужно хорошо понимать механику FOIL.

Рассмотрим произведение двух обобщённых линейных биномиалов:

(x + p)(x + q)

Раскрываем по FOIL:

• First: x × x = x в квадрате
  
  
• Outer: x × q = qx
  
  
• Inner: p × x = px
  
  
• Last: p × q
  
  

Складываем подобные члены:

x в квадрате + (p + q)x + pq

Ключевая идея факторизации квадратных триномов

Если квадратичный трином имеет вид:

x в квадрате + Bx + C

то при факторизации в виде:

(x + p)(x + q)

выполняются два условия:

• p + q = B (коэффициент при x)
  
  
• p × q = C (свободный член)
  
  

👉 Факторизация сводится к поиску двух чисел с заданной суммой и произведением.

Пример 1: положительная сумма и положительное произведение

Разложить:

x в квадрате + 8x + 15

Нужно найти два числа:

• сумма = 8
  
  
• произведение = 15
  
  

Возможные множители 15:

• 1 и 15 → сумма 16 (не подходит)
  
  
• 3 и 5 → сумма 8 (подходит)
  
  

Факторизация:
(x + 3)(x + 5)

Пример 2: несколько вариантов произведения

Разложить:

x в квадрате + 14x + 24

Нужно:

• сумма = 14
  
  
• произведение = 24
  
  

Пробуем пары:

• 4 и 6 → сумма 10
  
  
• 3 и 8 → сумма 11
  
  
• 2 и 12 → сумма 14 ✅
  
  

Факторизация:
(x + 2)(x + 12)

Пример 3: отрицательное произведение

Разложить:

x в квадрате + 4x − 21

Здесь:

• сумма = +4
  
  
• произведение = −21
  
  

Если произведение отрицательное, одно число положительное, другое отрицательное.
Так как сумма положительная, число с большим модулем должно быть положительным.

Множители 21:

• 3 и 7
  
  

Проверяем:

• +7 и −3 → произведение −21, сумма +4 ✅
  
  

Факторизация:
(x + 7)(x − 3)

Пример 4: отрицательная сумма и отрицательное произведение

Разложить:

x в квадрате − 2x − 35

Нужно:

• сумма = −2
  
  
• произведение = −35
  
  

Произведение отрицательное → знаки разные
Сумма отрицательная → большее по модулю число отрицательное

Множители 35:

• 5 и 7
  
  

Проверяем:

• +5 и −7 → сумма −2, произведение −35 ✅
  
  

Факторизация:
(x − 7)(x + 5)

Пример 5: положительное произведение и отрицательная сумма

Разложить:

x в квадрате − 16x + 48

Нужно:

• сумма = −16
  
  
• произведение = +48
  
  

Если произведение положительное и сумма отрицательная, оба числа отрицательные.

Пробуем множители 48:

• 6 и 8 → сумма 14 → значит −6 и −8 дают сумму −14
  
  
• 4 и 12 → сумма 16 → значит −4 и −12 дают сумму −16 ✅
  
  

Факторизация:
(x − 12)(x − 4)

(порядок множителей не важен)

Проверка результата (очень рекомендуется)

После факторизации всегда полезно проверить себя, быстро применив FOIL и убедившись, что вы вернулись к исходному триному.

Это:

• снижает количество ошибок;
  
  
• укрепляет понимание;
  
  
• полезно при тренировке.
  
  

Важное ограничение метода

Метод «сумма и произведение» работает напрямую только тогда, когда:

коэффициент при x в квадрате равен 1

Если коэффициент при x в квадрате не равен 1, то:

• часто нужно сначала вынести наибольший общий множитель (GCF);
  
  
• либо применить комбинацию методов факторизации.
  
  

Именно этим мы займёмся в следующем уроке.

Итоговые выводы

В этом уроке мы разобрали:

• как факторизовать квадратичный трином вида x в квадрате + Bx + C;
  
  
• связь между FOIL и факторизацией;
  
  
• ключевое правило:
  
  
  • линейный коэффициент — это сумма искомых чисел;
    
    
  • свободный член — это их произведение;
    
    
• работу со знаками при положительных и отрицательных коэффициентах;
  
  
• важность проверки через FOIL.
  
  

Этот навык является критически важным для алгебры в Quant-разделе GMAT и GRE и постоянно используется в более сложных задачах.

Далее нас будут ждать главы о комбинированных методах факторизации и продвинутой факторизации.