Неравенства: основы

Эта тема является частью раздела алгебры, уравнений и неравенств в Quant GMAT Focus.

В этом разделе мы начинаем тему неравенств. До сих пор в алгебре мы в основном работали с уравнениями, то есть с условиями равенства. Однако в математике — и в реальной жизни — нам часто нужно понимать, что больше, меньше или не равно чему-то. Именно это и описывают неравенства.

Символы неравенств

На GMAT используются пять символов, которые необходимо уверенно понимать:

1. < — меньше
   A < B — A меньше B

    

2. > — больше
   C > D — C больше D

    

Полезное визуальное правило:
символ «открыт» в сторону большего числа.

Также важно:

• A < B эквивалентно B > A
  (можно поменять местами и развернуть знак)

   

1. ≤ — меньше либо равно
   A ≤ B — A меньше или равно B

    

2. ≥ — больше либо равно
   C ≥ D — C больше или равно D

    

Эти символы допускают равенство как один из вариантов.

И снова:

• A ≤ B эквивалентно B ≥ A

   

1. ≠ — не равно
   A ≠ B — A и B не равны, но неизвестно, какое больше

    

Важно:

• знак «не равно» может встречаться в условии задачи

   

• но не используется в вычислениях, которые вам нужно выполнять

   

Критически важное замечание: не будьте «наивны» с числами

Рассмотрим утверждение:

• x < 5

   

Это не то же самое, что:

• x ≤ 4

   

Очень распространённая ошибка — думать только о целых положительных числах.

На GMAT, если просто сказано «число» или используется переменная x без уточнений, это означает:

• положительные числа

   

• отрицательные числа

   

• ноль

   

• дроби

   

• десятичные числа

   

То есть вся числовая прямая.

Пример ошибки

Между 4 и 5 нет целых чисел,
но существует бесконечно много дробей и десятичных чисел:

• 4.1

   

• 4.25

   

• 4.9

   

• 4.999999

   

Все они удовлетворяют условию x < 5,
но не удовлетворяют x ≤ 4.

Между любыми двумя различными числами на числовой прямой существует бесконечно много чисел.
Игнорирование этого факта — серьёзная логическая ошибка на GMAT.

Что такое неравенство

Алгебраическое утверждение с символами:

• <, >, ≤, ≥

   

называется неравенством.

Операции с неравенствами

1. Сложение и вычитание

Работают точно так же, как в уравнениях.

Если:

• x + 7 > 2

   

Вычитаем 7 из обеих частей:

• x > -5

   

Знак неравенства не меняется.

2. Умножение и деление на положительное число

Если мы умножаем или делим на положительное число, всё работает так же, как в уравнениях.

Знак неравенства сохраняется.

3. Умножение и деление на отрицательное число

Это ключевой момент.

Если мы умножаем или делим на отрицательное число,
знак неравенства меняет направление.

Пример

• -x > 3

   

Чтобы получить x, умножаем обе части на -1.
При этом знак меняется:

• x < -3

   

Почему знак меняется

Посмотрим на обычные числа:

• 7 > 3
  умножаем на -1 → -7 < -3

   

Чтобы утверждение оставалось истинным, знак обязан поменяться.

Пример 1. Линейное неравенство

Решить:

• 5x + 7 < 2x — 2

   

Шаги

1. Переносим x в одну сторону:

    

   • 3x + 7 < -2

      

2. Вычитаем 7:

    

   • 3x < -9

      

3. Делим на 3 (положительное число):

    

   • x < -3

      

Запись на числовой прямой

• открытая точка в -3

   

• закрашена область левее

   

Число -3 не входит в решение.

Пример 2. Неравенство с дробями

Решить:

• 6/x ≥ 1

   

Анализ

• x ≠ 0

   

• правая часть положительна

   

• чтобы дробь была ≥ 1, x обязан быть положительным

   

Теперь можно безопасно перемножить:

• 6 ≥ x

   

С учётом всех условий:

• 0 < x ≤ 6

   

Числовая прямая

• открытая точка в 0

   

• закрашенная точка в 6

   

Пример 3. Составное неравенство

Решить:

• -4 ≤ -3x + 5 < 17

   

Шаг 1. Вычитаем 5 из всех частей:

• -9 ≤ -3x < 12

   

Шаг 2. Делим на -3

(отрицательное число — оба знака меняются):

• 3 ≥ x > -4

   

Переписываем в стандартном порядке:

• -4 < x ≤ 3

   

Интерпретация

• -4 не включено

   

• 3 включено

   

• допустимы все дробные и десятичные значения между ними

   

Итоговые правила (обязательно для GMAT)

1. Неравенства работают со всеми числами, не только с целыми

    

2. Сложение и вычитание:

    

   • знак сохраняется

      

3. Умножение и деление:

    

   • на положительное число → знак сохраняется

      

   • на отрицательное число → знак меняется

      

4. Открытая точка — значение не включено

    

5. Закрашенная точка — значение включено

    

6. Между любыми двумя числами — бесконечно много значений

    

Этот раздел закладывает фундамент для более сложных задач с неравенствами, которые мы разберём далее.

Продолжим их изучение с дополнительных свойств неравенств и стратегии решений.