Трёхкритериальные диаграммы Венна

Эта тема является частью раздела текстовых задач в Quant GMAT Focus.

Ранее мы рассматривали диаграммы Венна с двумя пересекающимися множествами. Это упрощение, потому что в реальной жизни люди часто принадлежат более чем двум группам одновременно. На GMAT и GRE довольно часто встречаются задачи, где каждый элемент популяции может принадлежать трём пересекающимся множествам.

Экзамен почти никогда не выходит за пределы трёх, но три — вполне стандартный уровень сложности.

Идея трёх множеств

Пример:

• учащиеся, изучающие итальянский,
  
  
• учащиеся в хоре,
  
  
• учащиеся в бейсбольной команде.
  
  

Эти активности независимы, поэтому возможны все комбинации:

• ученик может быть во всех трёх,
  
  
• в любых двух,
  
  
• только в одной,
  
  
• или ни в одной.
  
  

По сути, каждому ученику задаются три вопроса «да/нет».
Так как каждый вопрос бинарный, число возможных комбинаций равно:

2³ = 8

 

Структура 3-кратной диаграммы Венна

Диаграмма Венна с тремя кругами делит пространство на 8 областей:

• A, B, D — только в одном множестве,
  
  
• C, E, F — ровно в двух множествах,
  
  
• G — во всех трёх,
  
  
• H — ни в одном из трёх.
  
  

(Обозначения букв могут отличаться, важно понимать логику областей.)

Как даётся информация в задачах

Почти никогда вам не дают значения отдельных областей напрямую.
Обычно в условии фигурируют суммы нескольких областей.

Примеры формулировок:

• «120 студентов поют в хоре»
  → это все области внутри круга “хор”.
  
  
• «40 студентов поют в хоре и изучают итальянский»
  → это пересечение двух кругов, включая тех, кто может быть и в третьем.
  
  
• «15 студентов занимаются всеми тремя»
  → это центральная область, одна конкретная ячейка.
  
  

Ключевая стратегия

Если дана информация о тех, кто состоит во всех трёх группах — начинайте с центра.

Центральная область:

• однозначна,
  
  
• часто используется в других суммах,
  
  
• сильно упрощает дальнейшие вычисления.
  
  

Пример (уровень GMAT)

Условие

В школе 400 учеников. Есть три активности:
хор, бейсбол, итальянский.

Известно:

• 120 учеников в хоре;
  
  
• 40 — в хоре и изучают итальянский;
  
  
• 45 — в хоре и играют в бейсбол;
  
  
• 15 — участвуют во всех трёх;
  
  
• 220 учеников состоят либо в итальянском, либо в бейсболе.
  
  

Вопрос: сколько учеников не состоят ни в одной из трёх активностей?

Шаг 1. Обозначения

• общее количество: T = 400
  
  
• центральная область (все три): G = 15
  
  

Шаг 2. Используем пересечения

Хор ∩ итальянский = 40

(центральные 15) + (хор + итальянский, но не бейсбол) = 40

⇒ B = 25

 

Хор ∩ бейсбол = 45

15 + F = 45

⇒ F = 30

 

Шаг 3. Используем общее число в хоре

В хоре всего 120:

B + G + F + E = 120

25 + 15 + 30 + E = 120

E = 50

 

Шаг 4. Сколько в итальянском ИЛИ бейсболе

Это все области внутри двух соответствующих кругов:

A + B + G + D + F + E = 220

 

Мы уже знаем:

B + G + F + E = 25 + 15 + 30 + 50 = 120

 

Значит:

A + D = 220 − 120 = 100

 

Шаг 5. Находим тех, кто ни в одной группе

Все, кто в хотя бы одной активности:

220 (итальянский или бейсбол) + 50 (только хор) = 270

 

Тогда вне всех трёх:

400 − 270 = 130

 

Ответ

130 учеников не состоят ни в одной из трёх активностей.

Итог по 3-кратным диаграммам Венна

• При трёх критериях всегда есть 8 областей.
  
  
• Большинство чисел в условии — это суммы областей, а не отдельные ячейки.
  
  
• Если дана информация о тех, кто входит во все три множества,
  начинайте с центра и двигайтесь наружу.
  
  
• Чёткая визуализация (даже схематичная на черновике) резко снижает вероятность ошибок.
  
  

Этот тип задач проверяет не формулы, а структурное мышление и аккуратность в интерпретации формулировок.

Далее нам следует изучить введение в последовательности.