Взаимоисключающие события

Эта тема является частью раздела о вероятностях в Quant GMAT Focus.

В следующих нескольких уроках мы будем постепенно выводить правило OR и правило AND — два ключевых правила теории вероятностей.
Чтобы корректно к ним прийти, сначала необходимо разобраться с понятием взаимоисключающих событий.

Что означает «взаимоисключающие»

Два события называются взаимоисключающими, если невозможно, чтобы они произошли одновременно.

Если происходит одно событие, это полностью исключает возможность того, что произойдёт другое.

Иногда в учебниках используется слово disjoint — это просто синоним термина «взаимоисключающие».

Логика взаимоисключения

Пусть у нас есть два события — A и B. Если они взаимоисключающие, то возможны следующие ситуации:

• может произойти только A,
  
  
• может произойти только B,
  
  
• может не произойти ни A, ни B,
  
  

и есть ровно одна невозможная ситуация:

• A и B не могут произойти одновременно.
  
  

Именно это и означает взаимное исключение.

Формально это записывается так:

P(A и B) = 0

То есть вероятность того, что события A и B произойдут вместе, равна нулю.

Где это понятие применяется проще всего

Идея взаимоисключающих событий особенно хорошо работает в очень простых вероятностных системах, таких как:

• кости,
  
  
• монеты,
  
  
• игральные карты.
  
  

Пример с игральной костью

Если бросить одну кость:

• может выпасть 2,
  
  
• может выпасть 3,
  
  

но невозможно, чтобы одновременно выпали и 2, и 3.

События «выпало 2» и «выпало 3» — взаимоисключающие.

Пример с картами

Если мы вытаскиваем одну карту из колоды:

• она может быть пиковой,
  
  
• может быть трефовой,
  
  

но не может одновременно быть и пиковой, и трефовой.

Эти события также взаимоисключающие.

Почему с людьми всё сложнее

Понятие взаимоисключения становится намного менее очевидным, когда мы переходим от простых физических систем к социальным и человеческим данным.

Например:

• религия,
  
  
• политическая принадлежность,
  
  
• этническая принадлежность.
  
  

Чаще всего человек принадлежит к одной категории и не принадлежит к другой, но:

• иногда человек может относиться сразу к двум религиям,
  
  
• состоять в двух политических движениях,
  
  
• иметь смешанное этническое происхождение.
  
  

В таких ситуациях понятие «взаимоисключающие» применять значительно сложнее, и оно часто перестаёт быть корректным.

Именно поэтому на экзамене GMAT и GRE это понятие чаще всего используется в простых, чётко определённых системах — кости, карты, монеты, урны с шарами и т.п.

Выводы

• Два события являются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно.
  
  
• Термины mutually exclusive и disjoint означают одно и то же.
  
  
• Для взаимоисключающих событий выполняется:
  P(A и B) = 0.
  
  
• Концепция лучше всего работает в простых вероятностных моделях.
  
  
• В задачах, связанных с людьми и социальными категориями, взаимное исключение требует особой осторожности.
  
  

В следующем шаге мы будем использовать это понятие для строгого вывода правила OR и уточнения условий, при которых вероятности можно просто складывать.

Рассмотрим это в вероятности события А ИЛИ события В.