Среднее арифметическое, медиана и мода

Эта тема является частью раздела о статистике в Quant GMAT Focus.

Теперь мы можем начать разговор о статистике. В широком смысле статистика — это очень обширная область, но для GMAT и GRE нам нужно знать лишь ограниченный набор идей. В рамках экзамена статистика — это инструменты для анализа и интерпретации данных. Нам дают некоторый набор чисел и задают вопросы именно о нем.

Один из самых фундаментальных вопросов, который можно задать о любом наборе данных:
какое одно число лучше всего представляет весь набор целиком?

В реальной статистике это крайне важный вопрос. Например, если бы у нас был список доходов всех домохозяйств в США, нас бы интересовало одно число, которое было бы наиболее репрезентативным для всего списка.

Такие числа называются мерами центра. С них мы и начинаем. Для экзамена важнейшими мерами центра являются mean (среднее арифметическое) и median (медиана). Также иногда встречается mode (мода).

Среднее арифметическое (Mean)

Среднее арифметическое — это обычное среднее значение.

Определение

Чтобы найти среднее арифметическое:

• сложите все числа в списке;

   

• разделите сумму на количество чисел.

   

Если в списке 7 чисел, мы складываем все 7 и делим сумму на 7.

В общем виде:

• если в списке N значений,

   

• среднее = (сумма всех значений) / N.

   

Формула

Среднее = сумма N значений / N

Если умножить обе части на N, получим эквивалентную и очень полезную форму:

• сумма всех значений = N × среднее

   

Эта форма часто оказывается ключевой при решении задач GMAT, связанных со средним.

Почему важно думать через сумму

Задачи на среднее часто кажутся сложными, если пытаться работать напрямую с отдельными числами. Гораздо эффективнее думать через суммы.

Пример (экзаменационный тип)

В классе 18 учеников написали тест, и их средний балл равен 70.
Затем тест написали Алисия и Берт, и средний балл всех 20 учеников стал равен 71.
Если Алисия получила 77, какой балл получил Берт?

Шаг 1. Найдём «старую» сумму

18 × 70 = 1260

Шаг 2. Найдём «новую» сумму

20 × 71 = 1420

Шаг 3. Найдём разницу сумм

1420 − 1260 = 160

Эта разница — это сумма баллов Алисии и Берта.

Шаг 4. Вычтем балл Алисии

160 − 77 = 83

Ответ: Берт получил 83.

Ключевая идея: задача решается исключительно через работу с суммами, без перебора вариантов.

Медиана (Median)

Медиана — это среднее по положению число в списке.

Важное правило

Перед поиском медианы список обязательно нужно упорядочить:

• от меньшего к большему.

   

Числа в произвольном порядке не имеют медианы до сортировки. На экзамене GMAT очень часто дают неупорядоченные списки — это ловушка.

Случай 1: нечётное количество чисел

Если в списке нечётное количество значений, медиана — это число, стоящее ровно посередине.

Пример:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Медиана = 4
(3 числа меньше, 3 числа больше)

Случай 2: чётное количество чисел

Если чисел чётное количество, одного центрального значения нет.

В этом случае:

• берём два средних числа;

   

• находим их среднее арифметическое.

   

Пример:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Средние числа — 4 и 5
Медиана = (4 + 5) / 2 = 4.5

Пример с упорядочиванием

Дан список K. Сначала упорядочим его по возрастанию.

В списке 8 чисел, значит медиана — это среднее между 4-м и 5-м значениями.
Это числа 8 и 13.

Медиана = (8 + 13) / 2 = 21 / 2 = 10.5

Ключевое свойство медианы

Медиана зависит только от центральных значений.

Если изменить крайние элементы списка (например, заменить 55 на 55 000), медиана не изменится, а среднее — изменится. Это различие часто проверяется на экзамене.

Пример задачи на медиану

Медиана списка B ровно на 4 больше медианы списка A.

Шаг 1. Найдём медиану списка A

После упорядочивания средние числа — 7 и 10.
Медиана A = (7 + 10) / 2 = 8.5

Шаг 2. Найдём медиану списка B

Медиана B = 8.5 + 4 = 12.5

Шаг 3. Анализ структуры списка B

Три числа меньше медианы: 4, 7, 10
Три числа больше медианы: 18, 25, x

Так как количество чисел чётное, медиана — это среднее двух центральных значений, то есть:

• медиана = среднее между 10 и x

   

12.5 = (10 + x) / 2
Умножаем на 2:
25 = 10 + x
x = 15

Ответ: x = 15

Мода (Mode)

Мода — это число, которое встречается в списке чаще всего.

Возможные случаи

• Одна мода: одно число встречается чаще других

   

• Несколько мод: два или более чисел имеют одинаковую максимальную частоту

   

• Моды нет: все числа встречаются по одному разу

   

Примеры:

• 3, 3, 3, 5, 7 → мода = 3

   

• 2, 2, 5, 5, 8 → моды = 2 и 5

   

• 1, 2, 3, 4, 5 → моды нет

   

Почему мода менее важна

• Каждый список имеет среднее

   

• Каждый список имеет медиану

   

• Не каждый список имеет моду

   

Поэтому на GMAT вопросы о моде встречаются значительно реже, чем о среднем или медиане.

Итоговое резюме

• Среднее арифметическое (mean) — обычное среднее; в задачах часто полезно мыслить через сумму:
  сумма = количество × среднее

   

• Медиана (median) — центральное значение упорядоченного списка; при чётном количестве чисел — среднее двух центральных

   

• Мода (mode) — наиболее часто встречающееся число; может отсутствовать или быть неединственной

   

На экзамене GMAT и GRE наибольшее внимание уделяется mean и median. Вопросы о моде возможны, но встречаются значительно реже.

Наша следующая глава будет о среднем арифметическом и медиане.