Экспоненциальный рост

Эта тема является частью раздела о степенях и корнях в Quant GMAT Focus.

В этом модуле мы разбираем различные паттерны экспоненциального роста — то есть, как ведут себя степени при увеличении показателя, в зависимости от основания.

Ключевой момент:
этот материал не про точные вычисления. На GMAT гораздо важнее понимать направление изменения:

• что становится больше,
  
  
• что становится меньше,
  
  
• и при каких условиях это происходит.
  
  

Экзамен очень любит такие паттерны и проверяет их разными способами.

Общая идея модуля

Мы будем рассматривать, что происходит со степенями, когда показатель степени последовательно увеличивается (1, 2, 3, 4, …), для разных типов оснований.

Случай 1: положительное основание больше 1

Рассмотрим основание больше 1, например 7.

• 7 в степени 1 = 7
  
  
• 7 в квадрате = 49
  
  
• 7 в кубе = 343
  
  

(343 — полезное число, его стоит знать.)

Дальнейшие степени знать не нужно. Они приведены только для иллюстрации идеи:

степени положительного числа больше 1 растут очень быстро.

Особенно важно помнить:

• если основание больше 5,
  
  
• или тем более больше 10,
  
  

то при возведении в степень значение становится огромным очень быстро.

Вывод (случай 1):
Если основание положительное и больше 1, то при увеличении показателя степени значение непрерывно растёт, причём всё быстрее.

Случай 2: положительное основание между 0 и 1

Теперь рассмотрим положительное основание меньше 1, например 1/2.

• (1/2) в степени 1 = 1/2
  
  
• (1/2) в квадрате = 1/4
  
  
• (1/2) в кубе = 1/8
  
  
• (1/2) в степени 4 = 1/16
  
  
• (1/2) в степени 7 = 1/128
  
  
• (1/2) в степени 8 = 1/256
  
  

Здесь происходит противоположное:

степени становятся меньше и меньше, причём очень быстро.

Ключевая идея:
если основание положительное и лежит между 0 и 1, то при увеличении показателя степени значение убывает, стремясь к 0.

Это принципиально другой паттерн, чем в случае основания больше 1.

Случай 3: отрицательное основание с модулем больше 1

Теперь рассмотрим отрицательное число, модуль которого больше 1, например -3.

• (-3) в степени 1 = -3
  
  
• (-3) в квадрате = 9
  
  
• (-3) в кубе = -27
  
  
• (-3) в степени 4 = 81
  
  
• (-3) в степени 5 = -243
  
  
• (-3) в степени 6 = 729
  
  

Здесь мы видим два эффекта одновременно:

1. Знаки чередуются (положительное / отрицательное)
   
   
2. Абсолютные значения растут
   
   

То есть:

• большое положительное,
  
  
• затем ещё большее отрицательное,
  
  
• затем ещё большее положительное,
  
  
• и так далее.
  
  

На числовой прямой это выглядит как резкие скачки от большого плюса к большому минусу.

Вывод (случай 3):
Абсолютные значения растут, но знак меняется при каждом увеличении показателя на 1.

Случай 4: отрицательная дробь между -1 и 0

Теперь возьмём отрицательное основание между -1 и 0, например -1/2.

• (-1/2) в степени 1 = -1/2
  
  
• (-1/2) в квадрате = 1/4
  
  
• (-1/2) в кубе = -1/8
  
  
• (-1/2) в степени 4 = 1/16
  
  
• (-1/2) в степени 5 = -1/32
  
  
• (-1/2) в степени 6 = 1/64
  
  
• (-1/2) в степени 7 = -1/128
  
  
• (-1/2) в степени 8 = 1/256
  
  

Что мы наблюдаем:

• абсолютные значения уменьшаются
  
  
• знак чередуется
  
  
• значения приближаются к 0, «перепрыгивая» через него сверху и снизу
  
  

Вывод (случай 4):
Степени стремятся к 0, чередуясь между положительными и отрицательными значениями.

Сравнение степеней: важная идея для GMAT

Рассмотрим вопрос:

Является ли x в степени 7 больше, чем x в степени 6?

Ответ зависит от x. Универсального «да» или «нет» без условий не существует.

Пример с условием

Условие:
x < 1 и x ≠ 0

Возможные случаи:

1) x отрицательное

• x в степени 7 — отрицательное
  
  
• x в степени 6 — положительное
  
  

Любое положительное число больше любого отрицательного.

Ответ: нет.

2) x положительное и между 0 и 1

Например, x = 2/3:

• (2/3) в квадрате = 4/9
  
  
• (2/3) в кубе = 8/27
  
  
• (2/3) в степени 4 = 16/81
  
  

Значения уменьшаются при росте показателя степени.

Следовательно:

• x в степени 6 > x в степени 7
  
  

Ответ: нет.

Итог по вопросу

Для всех допустимых значений x при условии x < 1 и x ≠ 0:

x в степени 7 не больше, чем x в степени 6.

Мы можем дать однозначный ответ: нет.

Финальный вывод модуля

При увеличении показателя степени:

• основание > 1 → значения быстро растут
  
  
• основание между 0 и 1 → значения убывают к 0
  
  
• отрицательное основание с модулем > 1 → абсолютные значения растут, знак чередуется
  
  
• отрицательное основание между -1 и 0 → значения стремятся к 0, знак чередуется
  
  

Понимание этих паттернов критично для решения сравнительных, алгебраических и логических задач GMAT Quant.

Далее мы изучим законы степеней: первая глава о них, и вторая глава о них.