Простые и сложные проценты

Это одна из ключевых тем в Quant-разделе, особенно с точки зрения понимания логики, а не заучивания формул. GMAT проверяет именно это.

Простые проценты (Simple Interest)

Простые проценты — это, по сути, учебная модель, созданная для объяснения самой идеи процента.
В реальной финансовой практике простые проценты почти не используются и крайне редко появляются на экзамене как самостоятельная тема.

Как работают простые проценты

При простых процентах:

• процент всегда начисляется только на первоначальную сумму (principal);

   

• денежная сумма процента каждый период одинакова.

   

Пример

Боб кладёт 1000 на счёт под 5% простых процентов с ежегодным начислением.

• 5% от 1000 = 50

   

• каждый год начисляется одна и та же сумма — 50

   

Динамика по годам:

• после 1 года: 1000 + 50 = 1050

   

• после 2 лет: 1100

   

• после 3 лет: 1150

   

Каждый год добавляется ровно 50.

Ключевые свойства простых процентов

• проценты начисляются только на основную сумму;

   

• накопленные проценты не влияют на будущие начисления;

   

• график роста — прямая линия (линейный рост).

   

Экзаменационный комментарий

Простые проценты:

• редко встречаются напрямую;

   

• очень полезны для прикидок и оценок (estimation), особенно при сравнении с сложными процентами.

   

Сложные проценты (Compound Interest)

Главная идея сложных процентов:

Проценты начисляются на проценты.

Каждый период процент начисляется на:

• основную сумму,

   

• плюс все ранее накопленные проценты.

   

Ключевое отличие

• при простых процентах постоянна денежная сумма прироста;

   

• при сложных процентах постоянен процентный рост, а не денежный.

   

Сложные проценты с ежегодным начислением

Пример

Боб кладёт 1000 под 5% годовых с ежегодным начислением.

• множитель для 5% роста: 1.05

   

По годам:

• после 1 года: 1000 × 1.05 = 1050

   

• после 2 лет: 1050 × 1.05 = 1102.5

   

• после 3 лет: умножаем снова на 1.05

   

Важное наблюдение

После первого года:

• простые и сложные проценты дают одинаковый результат.

   

После этого:

• сложные проценты всегда превосходят простые.

   

Сравнение через 4 года

• простые проценты: 1200

   

• сложные проценты: 1215.5

   

Разница пока небольшая, но это:

• короткий срок;

   

• маленькая сумма.

   

Почему сложные проценты так важны

С ростом:

• суммы,

   

• времени,

   

разница между простыми и сложными процентами становится огромной.

Ключевая идея №1

Сложные проценты всегда выгоднее простых, если:

• есть больше одного периода начисления.

   

Графически:

• простые проценты — прямая линия;

   

• сложные проценты — ускоряющаяся кривая.

   

Логика формулы сложных процентов

Пусть:

• P — первоначальная сумма;

   

• r — множитель процентного роста;

   

• y — количество лет.

   

Тогда:

• каждый год сумма умножается на r;

   

• через y лет сумма умножится на r y раз.

   

Итог:

• сумма = P × r^y

   

Важно

Не заучивать формулу.
Экзамен проверяет понимание логики:
один и тот же множитель применяется много раз.

Пример: построение выражения

Условие:
Шейла инвестирует 4000 под 6% годовых на 8 лет.
Найти выражение для итоговой суммы.

Решение

• 6% → множитель 1.06

   

• начисление происходит 8 раз

   

Итоговое выражение:

4000 × 1.06^8

GMAT может дать варианты ответов именно в таком виде — без необходимости считать число.

Начисление чаще одного раза в год

Банки указывают годовую процентную ставку, но начисление может быть:

• квартальным,

   

• ежемесячным,

   

• ежедневным.

   

Обозначение

• n — число периодов начисления в году.

   

Примеры:

• квартально: n = 4

   

• ежемесячно: n = 12

   

• ежедневно: n = 365

   

Важный момент

Банк не платит весь годовой процент каждый период.

Если ставка 5% годовых и начисление квартальное:

• за квартал платят 5% / 4 = 1.25%

   

Множитель при частом начислении

Если:

• годовая ставка = I%;

   

• начисление происходит n раз в год,

   

то:

• процент за период = I / n;

   

• множитель за период:

   

1 + I / (100 × n)

За y лет будет:

• n × y периодов начисления.

   

Пример: квартальное начисление

Условие:
Сьюзан инвестирует 1000 под 5% годовых с квартальным начислением на 6 лет.

Построение выражения

• 5% / 4 = 1.25%

   

• множитель: 1.0125

   

• периодов: 4 × 6 = 24

   

Итоговое выражение:

1000 × 1.0125^24

Снова: важно уметь построить выражение, а не вычислять его.

Приближения через простые проценты

Иногда GMAT требует оценку, а не точный расчёт.

В этом примере:

• 5% от 1000 = 50

   

• за 6 лет простые проценты дали бы 300

   

• итог ≈ 1300

   

Следовательно:

• сложные проценты дадут немного больше 1300,

   

• но явно не 1400.

   

Как влияет частота начисления

При одинаковых:

• ставке,

   

• сумме,

   

• сроке,

   

чем чаще начисление, тем больше итоговая сумма.

При больших масштабах (например, 1 000 000 на 20 лет под 5%):

• простые проценты дают наименьший результат;

   

• ежегодное начисление — больше;

   

• квартальное, месячное, ежедневное — ещё больше.

   

Итоговые выводы

1. Простые проценты:

    

   • учебная модель;

      

   • полезны для оценок.

      

2. Сложные проценты:

    

   • начисляются на всю накопленную сумму;

      

   • всегда превосходят простые при более чем одном периоде.

      

3. Формулы нельзя заучивать — их нужно уметь логически выводить.

    

4. Чем чаще начисление процентов:

    

   • тем выше итоговая сумма.

      

Понимание этих принципов — обязательная часть уверенной работы с задачами Quant на GMAT и GRE.

Следующая глава будет посвящена введению в отношения.